Escreva a forma quadrática em notação matricial x^t A x+K x+c=0, em que x^t A x é uma forma quadrática e K é uma matriz qualquer, apropriadamente escolhida: Q(x)=x1^2-x1 x2+5 x1+8 x2=3.

Passo 1

Estamos precisando escrever a expressão Q(\mathbf{x}) = x_{1}^{2} - x_{1}x_{2} + 5x_{1} + 8x_{2} = 3 na forma matricial x^TAx + Kx + c = 0. O conteúdo aqui é forma quadrática em notação matricial e precisamos encontrar a matriz simétrica A, a matriz (linha) K e a constante c.

Passo 2

Primeiro, movemos o 3 para o lado esquerdo para ter tudo igual a zero:
x1^2 - x1x2 + 5x1 + 8x2 - 3 = 0

Passo 3

Para identificar A, lembramos que em notação x^TAx a expansão é:
x^TAx = a11x1^2 + 2a12x1x2 + a22x2^2
Na nossa expressão o coeficiente de x1^2 é 1, de x1x2 é -1 e não há termo em x2^2. Logo: a11=1, 2a12=-1Rightarrow a12=-tfrac12 e a22=0. Assim temos:
A = 1 & -tfrac12 -tfrac12 & 0

Passo 4

Os termos lineares são 5x1 e 8x2, então escolhemos a matriz (linha) K e a constante c assim:
K = 5 & 8
c = -3

Passo 5

Por fim, juntando tudo, a forma matricial completa fica:

Resposta

[\n\mathbf{x} = x1 x2 ,\quad A = 1 & -tfrac12 -tfrac12 & 0,\quad K = 5 & 8,\quad c = -3.\n]\n[\n\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} + K\mathbf{x} + c = 0.\n]

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