Considere os planos H1, H2 e H3 dados pelas equações
x+y+z-6=0 4 x+2 y-z-5=0 x+3 y+2 z-13=0
respectivamente. A interseção desses três planos é um único ponto? Em caso afirmativo, utilizando a regra de Crammer, encontre o ponto de interseção de H1, H2 e H3.

Passo 1

O enunciado nos dá três planos
x + y + z - 6 = 0, 4x + 2y - z - 5 = 0, x + 3y + 2z - 13 = 0,
e pergunta se há interseção única e, em caso afirmativo, pede o ponto dessa interseção usando a regra de Cramer. O conteúdo é solução de sistema linear 3times3 por determinantes.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma , com
Calculamos o determinante principal
Como , existe interseção única.

Passo 3

Para encontrar x, substituímos a primeira coluna de A por b e calculamos
Dx = 6 & 1 & 1 5 & 2 & -1 13 & 3 & 2 = 6cdot(2cdot2 - (-1)cdot3) - 1cdot(5cdot2 - (-1)cdot13) + 1cdot(5cdot3 - 2cdot13) = 42 - 23 - 11 = 8
Logo, x = Dx/D = 8/8 = 1.

Passo 4

Para encontrar y, substituímos a segunda coluna de A por b e calculamos
Dy = 1 & 6 & 1 4 & 5 & -1 1 & 13 & 2 = 1cdot(5cdot2 - (-1)cdot13) - 6cdot(4cdot2 - (-1)cdot1) + 1cdot(4cdot13 - 5cdot1) = 23 - 54 + 47 = 16
Portanto, y = Dy/D = 16/8 = 2.

Passo 5

Para encontrar z, substituímos a terceira coluna de A por b e calculamos
Dz = 1 & 1 & 6 4 & 2 & 5 1 & 3 & 13 = 1cdot(2cdot13 - 5cdot3) - 1cdot(4cdot13 - 5cdot1) + 6cdot(4cdot3 - 2cdot1) = 11 - 47 + 60 = 24
Logo, z = Dz/D = 24/8 = 3.

Resposta

O determinante principal D é não nulo, logo há interseção única, que é o ponto
(x,y,z) = (1,,2,,3)

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