\Pi=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; a x+b y+c z+d=0\right\}
e uma reta \mathcal{R} \subset \mathbb{E}^{3}. Suponha que \Pi contém dois pontos distintos P, Q \in \mathcal{R} e demonstre que \mathcal{R} \subset \Pi.
(b) Determine uma equação para o plano \Pi que passa pelos pontos
A=(1,1,1) \quad e \quad B=(1,0,1)
e que é paralelo a reta \mathcal{R} que passa pelos pontos
D=(2,0,1) \quad e \quad E=(0,0,1) .
Além disso, determine uma base ORTONORMAL para \mathbb{E}^{3} contendo o máximo possível de vetores diretores do plano \Pi obtido no ítem (a). Utilize esta base (não necessariamente todos os seus vetores) para apresentar uma caracterização vetorial para o plano \Pi.
Passo 1
O enunciado trata de duas partes. No item (a) temos um plano
e uma reta \mathcal{R}\subset\mathbb{E}^3. Diz-se que P,Q\in\mathcal{R} são pontos distintos tais que P,Q\in\Pi, e queremos mostrar que toda a reta \mathcal{R} fica contida em \Pi.
No item (b) precisamos achar a equação de um plano \Pi que passa pelos pontos
A=(1,1,1),\quad B=(1,0,1)
e é paralelo à reta que vai de
D=(2,0,1)\quad\text{a}\quad E=(0,0,1).
Em seguida, devemos construir uma base ortonormal de \mathbb{E}^3 que contenha o máximo possível de vetores diretores desse plano e, usando essa base, dar a forma vetorial de \Pi.
Passo 2
Para o item (a), representamos a reta \mathcal{R} parametricamente pelos pontos P e Q. Seja
A equação geral do plano passa em A=(1,1,1) e tem normal \mathbf{n}=(0,0,1), logo
0\cdot x +0\cdot y +1\cdot z + d = 0.
Como A pertence ao plano, 1+d=0, portanto d=-1. Assim a equação é
z-1=0,
ou simplesmente \;z=1.
Passo 7
Para montar uma base ortonormal que contenha o máximo de vetores diretores de \Pi, escolhemos dois vetores unitários na direção de \overrightarrow{DE} e \overrightarrow{AB}, e mais um vetor normal unitário:
Item (a): Qualquer ponto da reta pode ser escrito como P+t(Q-P). Substitindo na equação a\,x+b\,y+c\,z+d=0 obtém-se sempre zero, logo \mathcal{R}\subset\Pi.
Item (b): A equação do plano é
z=1.
Uma base ortonormal que contém dois vetores diretores do plano é