(a) Considere um plano
\Pi=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; a x+b y+c z+d=0\right\}
e uma reta \mathcal{R} \subset \mathbb{E}^{3}. Suponha que \Pi contém dois pontos distintos P, Q \in \mathcal{R} e demonstre que \mathcal{R} \subset \Pi.
(b) Determine uma equação para o plano \Pi que passa pelos pontos
A=(1,1,1) \quad e \quad B=(1,0,1)
e que é paralelo a reta \mathcal{R} que passa pelos pontos
D=(2,0,1) \quad e \quad E=(0,0,1) .
Além disso, determine uma base ORTONORMAL para \mathbb{E}^{3} contendo o máximo possível de vetores diretores do plano \Pi obtido no ítem (a). Utilize esta base (não necessariamente todos os seus vetores) para apresentar uma caracterização vetorial para o plano \Pi.

Passo 1

O enunciado trata de duas partes. No item (a) temos um plano
\Pi=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : a\,x+b\,y+c\,z+d=0\}
e uma reta \mathcal{R}\subset\mathbb{E}^3. Diz-se que P,Q\in\mathcal{R} são pontos distintos tais que P,Q\in\Pi, e queremos mostrar que toda a reta \mathcal{R} fica contida em \Pi.
No item (b) precisamos achar a equação de um plano \Pi que passa pelos pontos
A=(1,1,1),\quad B=(1,0,1)
e é paralelo à reta que vai de
D=(2,0,1)\quad\text{a}\quad E=(0,0,1).
Em seguida, devemos construir uma base ortonormal de \mathbb{E}^3 que contenha o máximo possível de vetores diretores desse plano e, usando essa base, dar a forma vetorial de \Pi.

Passo 2

Para o item (a), representamos a reta \mathcal{R} parametricamente pelos pontos P e Q. Seja
\mathbf{r}(t)=P + t\,(Q-P),\quad t\in\mathbb{R}.
Como P e Q satisfazem a equação do plano,
a\,x_P+b\,y_P+c\,z_P+d=0 \quad\text{e}\quad a\,x_Q+b\,y_Q+c\,z_Q+d=0.

Passo 3

Agora verificamos que qualquer ponto \mathbf{r}(t) da reta também satisfaz a equação do plano:
a\,(x_P+t(x_Q-x_P))+b\,(y_P+t(y_Q-y_P))+c\,(z_P+t(z_Q-z_P))+d
=\bigl(a\,x_P+b\,y_P+c\,z_P+d\bigr) + t\bigl(a(x_Q-x_P)+b(y_Q-y_P)+c(z_Q-z_P)\bigr) =0 + t\cdot0 = 0.
Logo, \mathbf{r}(t)\in\Pi para todo t, ou seja, \mathcal{R}\subset\Pi.

Passo 4

No item (b), primeiro coletamos dois vetores diretores de \Pi. A reta que define a paralelidade é a reta DE. Então:
\overrightarrow{AB}=B-A=(1,0,1)-(1,1,1)=(0,-1,0), \quad \overrightarrow{DE}=E-D=(0,0,1)-(2,0,1)=(-2,0,0).

Passo 5

O vetor normal \mathbf{n} ao plano é o produto vetorial de \overrightarrow{AB} por \overrightarrow{DE}:
\mathbf{n} =(0,-1,0)\times(-2,0,0) =\det\begin{pmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 0&-1&0\\\\ -2&0&0 \end{pmatrix} =(0,0,1).

Passo 6

A equação geral do plano passa em A=(1,1,1) e tem normal \mathbf{n}=(0,0,1), logo
0\cdot x +0\cdot y +1\cdot z + d = 0.
Como A pertence ao plano, 1+d=0, portanto d=-1. Assim a equação é
z-1=0,
ou simplesmente \;z=1.

Passo 7

Para montar uma base ortonormal que contenha o máximo de vetores diretores de \Pi, escolhemos dois vetores unitários na direção de \overrightarrow{DE} e \overrightarrow{AB}, e mais um vetor normal unitário:
\mathbf{e}_1 = \frac1{2}(-2,0,0)=(-1,0,0), \quad \mathbf{e}_2 = (0,-1,0), \quad \mathbf{e}_3 = (0,0,1).
Note que \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2 estão em \Pi e \mathbf{e}_3 é ortogonal ao plano. Todos têm norma 1, e são mutuamente ortogonais.

Passo 8

Com essa base, a forma vetorial do plano \Pi (que é z=1) é
\Pi = \bigl\{A + s\,\mathbf{e}_1 + t\,\mathbf{e}_2 : s,t\in\mathbb{R}\bigr\} =\{(1,1,1) + s(-1,0,0) + t(0,-1,0)\}.

Resposta

Item (a): Qualquer ponto da reta pode ser escrito como P+t(Q-P). Substitindo na equação a\,x+b\,y+c\,z+d=0 obtém-se sempre zero, logo \mathcal{R}\subset\Pi.
Item (b): A equação do plano é
z=1.
Uma base ortonormal que contém dois vetores diretores do plano é
\{\,(-1,0,0),\,(0,-1,0),\,(0,0,1)\}.
Em forma vetorial,
\Pi=\{(1,1,1)+s(-1,0,0)+t(0,-1,0)\;|\;s,t\in\mathbb{R}\}.

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