(a) Utilizando todos os resultados vistos sobre posições relativas de retas planos e esferas, demonstre que 4 pontos não colineares definem uma única esfera em
.
(b) Determine todas as esferas de
cuja interseção com o plano
seja o conjunto
Dentre essas esferas, determine equação(ões) para a(s) que passa(m) pelo ponto (
).
(c) Calcule a distância entre o plano
e a esfera
Além disso, determine o reflexo do centro de
com relação à
.
(b) Determine todas as esferas de
(c) Calcule a distância entre o plano
Passo 1
O enunciado tem três partes principais sobre geometria em
:
- Provar que quatro pontos não todos em um mesmo plano determinam unicamente uma esfera.
- Fazer com que a interseção de uma esfera com o plano
seja o círculo
e, dentro dessas, achar aquelas que passam por
.
3. Calcular a distância entre o plano
3. Calcular a distância entre o plano
e a esfera
e ainda obter o reflexo do centro de
em relação a
.
Passo 2
Para (a), lembramos que a equação geral de uma esfera é
com quatro parâmetros
. Cada ponto
inserido nessa equação gera uma equação linear em
. Como temos quatro pontos e eles não estão todos no mesmo plano, o sistema linear formado tem matriz de coeficientes de determinante não nulo, garantindo uma única solução para
. Assim, quatro pontos não coplanares definem uma única esfera.
Passo 3
Para (b), usamos a forma centro-raio da esfera:
Na interseção com o plano
deve aparecer exatamente o círculo
. Substituindo
obtemos
Expandindo, é
Comparando com
, igualamos coeficientes:
Logo o conjunto de todas as esferas que cortam
no círculo
é dado por
Passo 4
Ainda em (b), exigimos que a esfera passe por
. Então
Calculemos o lado esquerdo:
Impondo
Então
,
. A esfera desejada é
Passo 5
Para (c), o centro de
é
e seu raio é
. A distância de um ponto
ao plano
é
Aqui
,
e
, logo
A distância entre o plano e a esfera é
, isto é
Passo 6
Ainda em (c), para refletir
em
usamos
Aqui
, então
Portanto, o reflexo do centro é
Resposta
(a) Quatro pontos não coplanares determinam unicamente a esfera porque o sistema de quatro equações lineares em
tem solução única.
(b) Todas as esferas que cortam o plano em
são
(b) Todas as esferas que cortam o plano
e entre elas apenas
passa por
.
(c) A distância entre e
é
(c) A distância entre
e o reflexo do centro de
em relação a
é
.