(a) Utilizando todos os resultados vistos sobre posições relativas de retas planos e esferas, demonstre que 4 pontos não colineares definem uma única esfera em \mathbb{E}^{3}.
(b) Determine todas as esferas de \mathbb{E}^{3} cuja interseção com o plano X Y seja o conjunto
C=\left\{(x, y, 0) \in \mathbb{E}^{3} ; x^{2}+y^{2}-2 x-4 y-3=0\right\}
Dentre essas esferas, determine equação(ões) para a(s) que passa(m) pelo ponto ( 3,4,2 ).
(c) Calcule a distância entre o plano
\Pi=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y+z=-1\right\}
e a esfera
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1\right\}
Além disso, determine o reflexo do centro de S com relação à \Pi.

Passo 1

O enunciado tem três partes principais sobre geometria em \mathbb{E}^3:
  1. Provar que quatro pontos não todos em um mesmo plano determinam unicamente uma esfera.
  2. Fazer com que a interseção de uma esfera com o plano XY seja o círculo
C=\{(x,y,0)\mid x^2+y^2-2x-4y-3=0\},
e, dentro dessas, achar aquelas que passam por (3,4,2).
3. Calcular a distância entre o plano
\Pi:\;x+y+z=-1
e a esfera
S:\;x^2+y^2+(z-1)^2=1,
e ainda obter o reflexo do centro de S em relação a \Pi.

Passo 2

Para (a), lembramos que a equação geral de uma esfera é
x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0,
com quatro parâmetros A,B,C,D. Cada ponto (x_i,y_i,z_i) inserido nessa equação gera uma equação linear em A,B,C,D. Como temos quatro pontos e eles não estão todos no mesmo plano, o sistema linear formado tem matriz de coeficientes de determinante não nulo, garantindo uma única solução para (A,B,C,D). Assim, quatro pontos não coplanares definem uma única esfera.

Passo 3

Para (b), usamos a forma centro-raio da esfera:
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2.
Na interseção com o plano z=0 deve aparecer exatamente o círculo C. Substituindo z=0 obtemos
(x-a)^2+(y-b)^2+c^2-r^2=0.
Expandindo, é
x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2+c^2-r^2)=0.
Comparando com x^2+y^2-2x-4y-3=0, igualamos coeficientes:
-2a=-2\implies a=1,\qquad -2b=-4\implies b=2,
a^2+b^2+c^2-r^2=-3\implies 1+4+c^2-r^2=-3\implies r^2-c^2=8.
Logo o conjunto de todas as esferas que cortam XY no círculo C é dado por
\boxed{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-c)^2 = r^2,\quad r^2 = c^2+8,\;c\in\mathbb{R}.}

Passo 4

Ainda em (b), exigimos que a esfera passe por (3,4,2). Então
(3-1)^2+(4-2)^2+(2-c)^2 = r^2 = c^2+8.
Calculemos o lado esquerdo:
(2)^2+(2)^2+(2-c)^2 = 4+4+(4-4c+c^2)=8 +4-4c+c^2 =12-4c+c^2.
Impondo
12-4c+c^2 = c^2+8\quad\Longrightarrow\quad12-4c=8\quad\Longrightarrow\quad c=1.
Então r^2 =1^2+8=9, r=3. A esfera desejada é
\boxed{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2 = 9.}

Passo 5

Para (c), o centro de S é O=(0,0,1) e seu raio é 1. A distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano ax+by+cz+d=0 é
\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Aqui a=b=c=1, d=1 e (x_0,y_0,z_0)=(0,0,1), logo
\delta(O,\Pi)=\frac{|0+0+1+1|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{2}{\sqrt3}.
A distância entre o plano e a esfera é \max\{0,\delta(O,\Pi)-r\}, isto é
\boxed{\frac{2}{\sqrt3}-1.}

Passo 6

Ainda em (c), para refletir O em \Pi usamos
O' = O \;-\;2\,\frac{a x_0+ b y_0+ c z_0 + d}{a^2+b^2+c^2}\,(a,b,c).
Aqui \frac{a x_0+ b y_0+ c z_0 + d}{a^2+b^2+c^2}=\frac{2}{3}, então
O' = (0,0,1) -2\cdot\frac{2}{3}\,(1,1,1) = (0,0,1) - \bigl(\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\bigr) = \Bigl(-\tfrac{4}{3},-\tfrac{4}{3},-\tfrac{1}{3}\Bigr).
Portanto, o reflexo do centro é
\boxed{\Bigl(-\tfrac{4}{3},-\tfrac{4}{3},-\tfrac{1}{3}\Bigr).}

Resposta

(a) Quatro pontos não coplanares determinam unicamente a esfera porque o sistema de quatro equações lineares em A,B,C,D tem solução única.
(b) Todas as esferas que cortam o plano XY em C são
(x-1)^2+(y-2)^2+(z-c)^2 = c^2+8,\quad c\in\mathbb{R},
e entre elas apenas
(x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2 = 9
passa por (3,4,2).
(c) A distância entre \Pi e S é
\frac{2}{\sqrt3}-1,
e o reflexo do centro de S em relação a \Pi é
\bigl(-\tfrac{4}{3},-\tfrac{4}{3},-\tfrac{1}{3}\bigr).

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