Determine os (demais) vértices da elipse \mathcal{E} contida no plano
\Pi=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+2 y-z=1\right\}
centrada no ponto C=(1,1,2), com um dos vértices no ponto V=(2,0,1) e um dos focos no ponto F=(2,1,3).

Passo 1

O enunciado descreve uma elipse \mathcal{E} contida no plano
\Pi = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x + 2y - z = 1\},
com centro C=(1,1,2), um vértice dado V=(2,0,1) e um foco F=(2,1,3). Precisamos achar os outros três vértices. O conteúdo envolve geometria analítica em \mathbb{R}^3, uso de vetores para determinar os semieixos a e b e a relação
c^2 = a^2 - b^2
para elipse.

Passo 2

Calculemos os vetores de centro a vértice e de centro a foco:
\overrightarrow{CV} = V - C = (2-1,\;0-1,\;1-2) = (1,-1,-1),
\overrightarrow{CF} = F - C = (2-1,\;1-1,\;3-2) = (1,0,1).
As distâncias são
a = \|\overrightarrow{CV}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}, \quad c = \|\overrightarrow{CF}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
Da relação c^2 = a^2 - b^2 vem
b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{3 - 2} = 1.

Passo 3

Os vértices do eixo maior são
C \pm \frac{\overrightarrow{CV}}{\|\overrightarrow{CV}\|}\,a = C \pm \overrightarrow{CV},
isto é
V_1 = C + (1,-1,-1) = (2,0,1)\quad(\text{dado}), \quad V_2 = C - (1,-1,-1) = (0,2,3).

Passo 4

Para o eixo menor, buscamos um vetor \mathbf w em \Pi e ortogonal a \overrightarrow{CV}. Seja \mathbf n=(1,2,-1) normal a \Pi. Resolvendo
\mathbf w\cdot \mathbf n =0, \quad \mathbf w\cdot \overrightarrow{CV}=0,
obtemos \mathbf w = (1,0,1). Normalizando,
\mathbf u = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1).
Os vértices do eixo menor são
C \pm b\,\mathbf u = (1,1,2)\pm 1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1).

Resposta

Os três vértices restantes da elipse são
(0,2,3), \quad \Bigl(1+\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,1,\,2+\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr), \quad \Bigl(1-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,1,\,2-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).

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