Determine os (demais) vértices da elipse \mathcal{E} contida no plano
\Pi=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+2 y-z=1\right\}
centrada no ponto C=(1,1,2), com um dos vértices no ponto V=(2,0,1) e um dos focos no ponto F=(2,1,3).
Passo 1
O enunciado descreve uma elipse \mathcal{E} contida no plano
\Pi = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x + 2y - z = 1\},
com centro C=(1,1,2), um vértice dado V=(2,0,1) e um foco F=(2,1,3). Precisamos achar os outros três vértices. O conteúdo envolve geometria analítica em \mathbb{R}^3, uso de vetores para determinar os semieixos a e b e a relação
c^2 = a^2 - b^2
para elipse.
Passo 2
Calculemos os vetores de centro a vértice e de centro a foco:
\overrightarrow{CV} = V - C = (2-1,\;0-1,\;1-2) = (1,-1,-1),
\overrightarrow{CF} = F - C = (2-1,\;1-1,\;3-2) = (1,0,1).