Considere o plano ortogonal ao vetor v=(1,-2,-3) e que passa pelo ponto (N+3,-N, N+1). Este plano é um subespaço vetorial do R^3? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para analisar se o plano ortogonal ao vetor ,v=(1,-2,-3), e que passa pelo ponto
,(N+3,,-N,;N+1), é um subespaço vetorial de R^3. Para isso, vamos escrever a equação desse plano, ver se ele contém a origem (condição necessária para ser subespaço) e reconhecer que um plano definido por uma equação linear homogênea é o núcleo de uma forma linear, logo subespaço.

Passo 2

A equação geral de um plano com vetor normal ,v=(1,-2,-3), passando por um ponto P=(x0,y0,z0) é
1cdot x-2cdot y-3cdot z = 1cdot x0 -2cdot y0 -3cdot z0
No nosso caso P=(N+3,-N,N+1), então o lado direito (denotado por d) é
d = 1,(N+3) ;-;2,(-N);-;3,(N+1)

Passo 3

Vamos calcular d:
d = (N+3) + 2N -3N -3 = N+3 +2N -3N -3 = 0
Logo o plano fica
x -2y -3z = 0

Passo 4

A equação ,x-2y-3z=0, é homogênea, ou seja, descreve o conjunto
(x,y,z)inR^3 mid 1cdot x -2cdot y -3cdot z = 0,
que é exatamente o núcleo da forma linear ell(x,y,z)=x-2y-3z. Sabemos que o núcleo de qualquer forma linear é um subespaço vetorial.

Passo 5

Como o plano passa pela origem (pois a equação homogênea admite o vetor nulo) e é fechado sob soma e multiplicação por escalar (por ser núcleo de ell), concluímos que ele é um subespaço de R^3.

Resposta

Sim. Esse plano é dado por ,x-2y-3z=0, que é homogênea, passa pela origem e, sendo o núcleo da forma linear x-2y-3z, é um subespaço vetorial de R^3.

Exercícios relacionados