Considere o plano ortogonal ao vetor
e que passa pelo ponto
. Este plano é um subespaço vetorial do
? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para analisar se o plano ortogonal ao vetor
e que passa pelo ponto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos escrever a equação desse plano, ver se ele contém a origem (condição necessária para ser subespaço) e reconhecer que um plano definido por uma equação linear homogênea é o núcleo de uma forma linear, logo subespaço.
Passo 2
A equação geral de um plano com vetor normal
passando por um ponto
é
No nosso caso
, então o lado direito (denotado por
) é
Passo 3
Vamos calcular
:
Logo o plano fica
Passo 4
A equação
é homogênea, ou seja, descreve o conjunto
que é exatamente o núcleo da forma linear
. Sabemos que o núcleo de qualquer forma linear é um subespaço vetorial.
Passo 5
Como o plano passa pela origem (pois a equação homogênea admite o vetor nulo) e é fechado sob soma e multiplicação por escalar (por ser núcleo de
), concluímos que ele é um subespaço de
.
Resposta
Sim. Esse plano é dado por
, que é homogênea, passa pela origem e, sendo o núcleo da forma linear
, é um subespaço vetorial de
.