Verifique que os vetores u=(1,2,3), v=(0,-1,4) e w=(1,1,2) formam uma base do R^3.
Dado um vetor y=(y1, y2, y3) vimos que as coordenadas do vetor y em relação à base B=(u, v, w) são as soluções do sistema linear cuja matriz aumentada é
[llll u1 & v1 & w1 & y1 u2 & v2 & w2 & y2 u3 & v3 & w3 & y3 ]
Note por outro lado que se A é a matriz cujas colunas são os vetores da base B na base canônica:
A=(lll u1 & v1 & w1 u2 & v2 & w2 u3 & v3 & w3 )
a solução deste sistema linear é
(l x1 x2 x3 )=A^-1(l y1 y2 y3 )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro mostrar que os vetores
,u=(1,2,3), ,v=(0,-1,4) e ,w=(1,1,2) formam uma base de R^3, e depois usar a matriz
A = u1 & v1 & w1 u2 & v2 & w2 u3 & v3 & w3 = 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 3 & 4 & 2
para encontrar, de modo geral, as coordenadas (x1,x2,x3) de um vetor genérico y=(y1,y2,y3) na base B=(u,v,w), ou seja, resolver A,(x1,x2,x3)^T=(y1,y2,y3)^T.

Passo 2

Para verificar que B é de fato uma base, calculamos o determinante de A.
det(A) = 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 3 & 4 & 2 =1cdot-1 & 14 & 2 -0cdotl(cdotsr) +1cdot2 & -13 & 4 =1l(-1cdot2-1cdot4r)+1l(2cdot4-(-1)cdot3r) =-6+11=5

Passo 3

Como det(A)=5neq0, a matriz A é invertível e, portanto, (u,v,w) é um sistema gerador e linearmente independente em R^3. Logo, B é de fato uma base de R^3.

Passo 4

Para encontrar A^-1, usamos a adjunta dividida por det(A). Os cofatores de A formam a matriz
Cof(A)= -6 & -1 & 11 4 & -1 & -4 1 & 1 & -1 ,
então a adjunta é adj(A)=(Cof(A))^T, ou seja
adj(A)= -6 & 4 & 1 -1 & -1 & 1 11 & -4 & -1
Assim
A^-1=15 -6 & 4 & 1 -1 & -1 & 1 11 & -4 & -1

Passo 5

Para um vetor genérico , as coordenadas na base vêm de
Explicitamente:

Resposta

Os vetores formam base porque e, para cada , as coordenadas em são

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