Verifique que os vetores e formam uma base do .
Dado um vetor vimos que as coordenadas do vetor em relação à base são as soluções do sistema linear cuja matriz aumentada é
Note por outro lado que se A é a matriz cujas colunas são os vetores da base B na base canônica:
A=(lll u1 & v1 & w1 u2 & v2 & w2 u3 & v3 & w3 )
a solução deste sistema linear é
(l x1 x2 x3 )=A^-1(l y1 y2 y3 )
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro mostrar que os vetores ,u=(1,2,3), ,v=(0,-1,4) e ,w=(1,1,2) formam uma base de R^3, e depois usar a matriz
para encontrar, de modo geral, as coordenadas (x1,x2,x3) de um vetor genérico y=(y1,y2,y3) na base B=(u,v,w), ou seja, resolver A,(x1,x2,x3)^T=(y1,y2,y3)^T.
Passo 2
Para verificar que B é de fato uma base, calculamos o determinante de A.
Como det(A)=5neq0, a matriz A é invertível e, portanto, (u,v,w) é um sistema gerador e linearmente independente em R^3. Logo, B é de fato uma base de R^3.
Passo 4
Para encontrar A^-1, usamos a adjunta dividida por det(A). Os cofatores de A formam a matriz
Cof(A)= -6 & -1 & 11 4 & -1 & -4 1 & 1 & -1 ,
então a adjunta é adj(A)=(Cof(A))^T, ou seja
adj(A)= -6 & 4 & 1 -1 & -1 & 1 11 & -4 & -1
Assim
A^-1=15 -6 & 4 & 1 -1 & -1 & 1 11 & -4 & -1
Passo 5
Para um vetor genérico , as coordenadas na base vêm de
Explicitamente:
Resposta
Os vetores formam base porque e, para cada , as coordenadas em são