Considere a reta ortogonal ao vetor
e que passa pelo ponto
. Esta reta é um subespaço vetorial do
? Justifique.
Passo 1
O enunciado fala de uma reta em
que é ortogonal ao vetor
e que passa pelo ponto
A pergunta é se essa reta é um subespaço vetorial de
. Para responder, vamos precisar (1) escrever a equação da reta e (2) usar o fato de que um subconjunto de
só é subespaço vetorial se contiver o vetor zero (e, em particular, passar pela origem).
Passo 2
Uma reta ortogonal a
é o conjunto de todos os
que satisfazem
Calculando o produto escalar com
, temos
Logo a reta
é dada por
Passo 3
Para que
seja um subespaço vetorial, ele deve conter o vetor
. Substituindo
na equação de
, obtemos
Isso significa que apenas quando
a constante do lado direito zerar, fazendo a reta passar pela origem e, portanto, ser fechada sob combinação linear.
Resposta
A reta é subespaço vetorial de
se, e somente se,
. Caso contrário, ela não contém o vetor zero e é apenas uma reta afim.