Considere a reta ortogonal ao vetor v=(3,-2) e que passa pelo ponto (1,-N). Esta reta é um subespaço vetorial do R^2? Justifique.

Passo 1

O enunciado fala de uma reta em R^2 que é ortogonal ao vetor
v = (3,-2)
e que passa pelo ponto
P = (1,-N)
A pergunta é se essa reta é um subespaço vetorial de R^2. Para responder, vamos precisar (1) escrever a equação da reta e (2) usar o fato de que um subconjunto de R^2 só é subespaço vetorial se contiver o vetor zero (e, em particular, passar pela origem).

Passo 2

Uma reta ortogonal a v é o conjunto de todos os (x,y) que satisfazem
vcdot(x,y) ;=; vcdot P
Calculando o produto escalar com P=(1,-N), temos
vcdot P = 3cdot1 + (-2)cdot(-N) = 3 + 2N
Logo a reta L é dada por
L=l(x,y)inR^2 mid 3x - 2y = 3 + 2Nl

Passo 3

Para que L seja um subespaço vetorial, ele deve conter o vetor (0,0). Substituindo (x,y)=(0,0) na equação de L, obtemos
3cdot0 - 2cdot0 = 3 + 2N Longrightarrow 0 = 3 + 2N Longrightarrow N = -tfrac32
Isso significa que apenas quando N=-tfrac32 a constante do lado direito zerar, fazendo a reta passar pela origem e, portanto, ser fechada sob combinação linear.

Resposta

A reta é subespaço vetorial de R^2 se, e somente se, N = -tfrac32. Caso contrário, ela não contém o vetor zero e é apenas uma reta afim.

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