Escreva a matriz A relativa à base u=(1,2,3), v=(0,-1,4) e w=(1,1,2) e calcule sua inversa.

Passo 1

O enunciado pede para montar a matriz de mudança de base A da base u,v,w para a base canônica de R^3, onde \r
u=(1,2,3), v=(0,-1,4) e w=(1,1,2). \r
Em seguida, queremos calcular A^-1. \r
Para isso, vamos usar o fato de que a matriz de mudança de base tem colunas iguais às coordenadas de u,v,w no sistema canônico, e depois inverteremos A pelo método dos cofactores (matriz adjunta).

Passo 2

Como a matriz de mudança de base coloca em cada coluna as coordenadas de um vetor da base antiga, temos\r
A = 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 3 & 4 & 2

Passo 3

Calculamos o determinante de A para verificar que é invertível:\r
det(A) =1cdotdet-1&14&2 -0cdotdet2&13&2 +1cdotdet2&-13&4
det(A) =1cdot(-1cdot2-1cdot4) +1cdot(2cdot4-(-1)cdot3) =-6 + 11 = 5

Passo 4

Agora calculamos a matriz de cofactores C. Para cada entrada Cij removemos a i-ésima linha e j-ésima coluna de A, calculamos o determinante e aplicamos o sinal (-1)^i+j. Obtemos\r
C = -6 & -1 & 11 4 & -1 & -4 1 & 1 & -1 \r
A adjunta de A é adj(A)=C^T, ou seja\r
adj(A) = -6 & 4 & 1 -1 & -1 & 1 11 & -4 & -1

Passo 5

Finalmente, a inversa de A é\r
A^-1 = 1det(A),adj(A) = 15 -6 & 4 & 1 -1 & -1 & 1 11 & -4 & -1

Resposta

A matriz de mudança de base é\r
A = 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 3 & 4 & 2 , \r
e sua inversa é\r
A^-1 = 15 -6 & 4 & 1 -1 & -1 & 1 11 & -4 & -1

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