Considere o plano \pi paralelo aos vetores \vec{u}=(1,0,-1) e \vec{v}=(0,1,2) e que passa pelo ponto Q=(1,1,2).
Calcule a distáncia do ponto P=(-1,2,3) ao plano \pi.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(-1,2,3) a um plano \pi que passa por Q=(1,1,2) e é paralelo aos vetores \vec u=(1,0,-1) e \vec v=(0,1,2). O conteúdo é geometria analítica em 3D: para achar essa distância, precisamos (1) obter um vetor normal \vec n ao plano via produto vetorial e (2) aplicar a fórmula
d = \frac{\bigl|\bigl(\overrightarrow{PQ}\bigr)\cdot\vec n\bigr|}{\|\vec n\|}.

Passo 2

Calculamos o vetor normal \vec n=\vec u\times\vec v usando determinante:
\vec n = \vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \bigl(0\cdot2 -(-1)\cdot1,\,-\bigl(1\cdot2 -(-1)\cdot0\bigr),\,1\cdot1 -0\cdot0\bigr) = (1,\,-2,\,1).

Passo 3

Formamos o vetor \overrightarrow{PQ} = P - Q:
\overrightarrow{PQ} = (-1-1,\;2-1,\;3-2) = (-2,\;1,\;1).

Passo 4

Aplicamos a fórmula da distância de um ponto a um plano:
d = \frac{\bigl|\overrightarrow{PQ}\cdot\vec n\bigr|}{\|\vec n\|}.

Passo 5

Calculamos o produto escalar e a norma:
\overrightarrow{PQ}\cdot\vec n = (-2,1,1)\cdot(1,-2,1) = -2 -2 +1 = -3,
\|\vec n\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}.
Logo,
d = \frac{|{-3}|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt6}{2}.

Resposta

A distância de P ao plano \pi é \displaystyle \frac{\sqrt6}{2}.

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