Considere o plano \pi paralelo aos vetores \vec{u}=(1,0,-1) e \vec{v}=(0,1,2) e que passa pelo ponto Q=(1,1,2).
Determine a área do paralelogramo cujos vetices consecutivos são A, B, C e D, sabendo que \vec{u}=\overrightarrow{A B} e \vec{v}=\overrightarrow{A D}.

Passo 1

O enunciado descreve um paralelogramo no plano \pi tal que seus lados consecutivos são dados pelos vetores \vec{u}=(1,0,-1) e \vec{v}=(0,1,2). Pede-se a área desse paralelogramo sabendo que \overrightarrow{AB}=\vec{u} e \overrightarrow{AD}=\vec{v}.

Passo 2

Para qualquer paralelogramo cujos lados são dados pelos vetores \vec{u} e \vec{v}, a área S é dada pelo módulo do produto vetorial:
S = \bigl\|\vec{u}\times\vec{v}\bigr\|.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}.
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0\cdot2 - (-1)\cdot1) - \mathbf{j}(1\cdot2 - (-1)\cdot0) + \mathbf{k}(1\cdot1 - 0\cdot0).
Isso resulta em
\vec{u}\times\vec{v} = (0+1,\,-(2-0),\,1-0) = (1,-2,1).

Passo 4

Agora encontramos o módulo de \vec{u}\times\vec{v}:
\bigl\|\vec{u}\times\vec{v}\bigr\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}.

Resposta

A área do paralelogramo é \sqrt{6}.

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