Trata-se de uma TL de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{2}. Por que? Simplesmente porque T está pronta para receber três variáveis ( \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z ) e responde com duas, ( \boldsymbol{s}, \boldsymbol{t} ), depois que substituimos valores. Nesse exemplo, \mathbb{R}^{3} é o domínio da TL e \mathbb{R}^{2} é o contra-domínio da TL.
Por exemplo: se x=1, y=-3 e z=2, então
s=3(1)+2(-3)-4(2)=3-6-8=-11 \quad \text { e } \quad \boldsymbol{t}=1-5(-3)+3(2)=1+15+6=22
ou seja, T leva o vetor [1,-3,2] de \mathbb{R}^{3} no vetor [-11,22] de \mathbb{R}^{2}.
Agora, considere os conjuntos \mathcal{A}=\{[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]\} e \mathcal{B}=\{[1,3],[2,5]\}.
Escreva as coordenadas de T(1,1,1), T(1,1,0) e T(1,0,0) na base \mathcal{B}.
Passo 1
Vamos primeiro identificar o que precisamos fazer. Temos a transformação linear
T(x,y,z) = (s,t) = \bigl(3x+2y-4z,\;x-5y+3z\bigr)
e a base \mathcal{B}=\{\,b_{1}=[1,3],\,b_{2}=[2,5]\} de \mathbb{R}^2. O objetivo é: para cada vetor v\in\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\},
calcular T(v),
expressar esse resultado como combinação linear de b_{1} e b_{2}, ou seja, achar escalares a,b tais que
T(v)=a\,b_{1}+b\,b_{2},
e então obter as coordenadas \bigl[a,b\bigr] na base \mathcal{B}.
Passo 2
Para v=(1,1,1)\) temos
\[T(1,1,1)=\bigl(3\cdot1+2\cdot1-4\cdot1,\;1-5\cdot1+3\cdot1\bigr) =(3+2-4,\;1-5+3)=(1,-1).
Queremos (1,-1)=a\,[1,3]+b\,[2,5]=\bigl(a+2b,\;3a+5b\bigr). Isso gera o sistema
\begin{cases} a+2b=1,\\\\ 3a+5b=-1. \end{cases}
Multiplicando a primeira por 3 e subtraindo da segunda achamos
(3a+6b)-(3a+5b)=3-(-1)\implies b=4,
e então (a=1-2\cdot4=-7]. Logo as coordenadas são [T(1,1,1)]_{\mathcal{B}} = [-7,\,4].
Passo 3
Para v=(1,1,0)\) calculamos
\[T(1,1,0)=(3\cdot1+2\cdot1-4\cdot0,\;1-5\cdot1+3\cdot0)=(5,-4).
Procuramos (5,-4)=a[1,3]+b[2,5]. O sistema é
\begin{cases} a+2b=5,\\\\ 3a+5b=-4. \end{cases}
Multiplicando a primeira por 3 e subtraindo da segunda:
(3a+6b)-(3a+5b)=15-(-4)\implies b=19,
e (a=5-2\cdot19=-33]. Logo [T(1,1,0)]_{\mathcal{B}} = [-33,\,19].
Passo 4
Para v=(1,0,0)\) obtemos
\[T(1,0,0)=(3\cdot1+2\cdot0-4\cdot0,\;1-5\cdot0+3\cdot0)=(3,1).