(2,0 pontos) Seja T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) a transformação linear definida por
T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(\begin{array}{cc} x_{1}+x_{2}-x_{4} & 2 x_{1}+x_{3} \\\ x_{2}-x_{3} & 3 x_{4}-x_{1} \end{array}\right)
(a) Mostre que T é inversível.
(b) Determine explicitamente a transformação T^{-1}: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^4 \to M_2(\mathbb{R}),\qquad T(x_1,x_2,x_3,x_4) =\begin{pmatrix} x_1+x_2 - x_4 & 2x_1 + x_3\\\ x_2 - x_3 & 3x_4 - x_1 \end{pmatrix}.
Queremos (a) mostrar que T é inversível (ou seja, bijetora) e (b) encontrar explicitamente a inversa T^{-1}. Como \dim\mathbb{R}^4=\dim M_2(\mathbb{R})=4, basta provar que T é injetora para concluir que ela é bijetora e, portanto, inversível.

Passo 2

Suponha T(x_1,x_2,x_3,x_4)=0\), i.e. \[\begin{cases} x_1 + x_2 - x_4 = 0,\\\\ 2x_1 + x_3 = 0,\\\ x_2 - x_3 = 0,\\\\ 3x_4 - x_1 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem \;x_3 = -2x_1\]. Da terceira vem \(\;x_2 = x_3 = -2x_1.
Da quarta vem \;x_4 = \tfrac{x_1}{3}.
Substituindo tudo na primeira:
x_1 +(-2x_1) - \frac{x_1}{3} =0 \;\Longrightarrow\; -\frac{4x_1}{3}=0 \;\Longrightarrow\; x_1=0.
Logo x_2=x_3=x_4=0. Assim \ker T=\{0\}, ou seja, T é injetora e, por igualdade de dimensões, bijetora. Portanto T é inversível.

Passo 3

Para achar T^{-1}\), escrevemos uma matriz genérica \[M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R})
e impomos
T(x_1,x_2,x_3,x_4)=M,
isto é
\begin{cases} x_1 + x_2 - x_4 = a,\\\\ 2x_1 + x_3 = b,\\\ x_2 - x_3 = c,\\\\ 3x_4 - x_1 = d. \end{cases}
Resolvendo em função de a,b,c,d\]: 1. Da segunda, \(x_3 = b -2x_1.
2. Da terceira, x_2 = c + x_3 = b + c -2x_1.
3. Da quarta, x_4 = \tfrac{d + x_1}{3}.
4. Na primeira:
a = x_1 + (b+c-2x_1)\;-\;\frac{d+x_1}{3} = -\frac{4x_1}{3} + b + c - \frac{d}{3} \;\Longrightarrow\; x_1 = \frac{3b+3c-3a-d}{4}.
Então
x_2 = b+c -2x_1 = \frac{3a - b - c + d}{2}, \quad x_3 = b -2x_1 = \frac{3a - b -3c + d}{2}, \quad x_4 = \frac{d + x_1}{3} = \frac{b + c - a + d}{4}.

Resposta

Para
M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
temos
T^{-1}(M) =\bigl(x_1,x_2,x_3,x_4\bigr)
com
x_1 = \frac{3b+3c-3a-d}{4},\quad x_2 = \frac{3a - b - c + d}{2},\quad x_3 = \frac{3a - b -3c + d}{2},\quad x_4 = \frac{b + c - a + d}{4}.

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