Queremos (a) mostrar que T é inversível (ou seja, bijetora) e (b) encontrar explicitamente a inversa T^{-1}. Como \dim\mathbb{R}^4=\dim M_2(\mathbb{R})=4, basta provar que T é injetora para concluir que ela é bijetora e, portanto, inversível.
Resolvendo em função de a,b,c,d\]:
1. Da segunda, \(x_3 = b -2x_1.
2. Da terceira, x_2 = c + x_3 = b + c -2x_1.
3. Da quarta, x_4 = \tfrac{d + x_1}{3}.
4. Na primeira:
a = x_1 + (b+c-2x_1)\;-\;\frac{d+x_1}{3} = -\frac{4x_1}{3} + b + c - \frac{d}{3} \;\Longrightarrow\; x_1 = \frac{3b+3c-3a-d}{4}.
Então
x_2 = b+c -2x_1 = \frac{3a - b - c + d}{2}, \quad x_3 = b -2x_1 = \frac{3a - b -3c + d}{2}, \quad x_4 = \frac{d + x_1}{3} = \frac{b + c - a + d}{4}.
Resposta
Para
M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
temos
T^{-1}(M) =\bigl(x_1,x_2,x_3,x_4\bigr)
com
x_1 = \frac{3b+3c-3a-d}{4},\quad x_2 = \frac{3a - b - c + d}{2},\quad x_3 = \frac{3a - b -3c + d}{2},\quad x_4 = \frac{b + c - a + d}{4}.