[T]A^B=[ccc 1 & -1 & 0 1 & 0 & 1 ] e [L]B^A=[cc -1 & 1 1 & 1 -1 & 2 ]
Também considere as bases ordenadas de R^2 e R^3 :
A^prime=[c 1 -1 ],[c 1 -2 ] e B^prime=[c 1 -1 2 ],[c 1 -2 1 ],[c 3 1 -1 ]
(a) Calcule [I]A^A^prime,[I]A^prime^A,[I]B^B^prime e [I]B^prime^B

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
[T]A^B=1 & -1 & 01 & 0 & 1, [L]B^A=-1 & 11 & 1-1 & 2
onde A e B são as bases canônicas de R^2 e R^3, respectivamente. Além disso temos novas bases
A'=l1-1,;1-2r, B'=l1-12,;1-21,;31-1r
Precisamos encontrar as matrizes de passagem do operador identidade entre as bases Arightarrow A' e Brightarrow B'. Lembrando que, por definição, as colunas de [I]old^new são as coordenadas dos vetores da base new escritas na base old.

Passo 2

Construindo [I]A^A'. Aqui A é a base canônica de R^2, então a coordenada de l(1,-1r) em A é 1-1 e de l(1,-2r) é 1-2. Logo
[I]A^A' = 1 & 1 -1 & -2

Passo 3

Agora [I]A'^A=l([I]A^A'r)^-1. Para
M=1&1-1&-2 temos
det M = 1cdot(-2)-1cdot(-1) = -2+1 = -1,
e pela fórmula do inverso de matriz 2times2,
M^-1 =1det M -2 & -1 1 & 1 = 2 & 1 -1 & -1
Portanto
[I]A'^A = 2 & 1 -1 & -1

Passo 4

Construindo [I]B^B'. Aqui B é a base canônica de R^3, então as colunas são simplesmente os vetores de B' em coordenadas canônicas:
[I]B^B' = 1 & 1 & 3 -1 & -2 & 1 2 & 1 & -1

Passo 5

Finalmente [I]B'^B=l([I]B^B'r)^-1. Denote
N= 1 & 1 & 3 -1 & -2 & 1 2 & 1 & -1
Calcula-se
det N=11
e o adjugado de N dá a matriz dos cofatores transposta:
adj(N) = 1 & 4 & 7 1 & -7 & -4 3 & 1 & -1
Logo
[I]B'^B =N^-1 =111 1 & 4 & 7 1 & -7 & -4 3 & 1 & -1

Resposta

[I]A^A' = 1 & 1-1 & -2, [I]A'^A = 2 & 1-1 & -1,
[I]B^B' = 1 & 1 & 3-1 & -2 & 12 & 1 & -1, [I]B'^B = 1111 & 4 & 71 & -7 & -43 & 1 & -1

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