Sejam [P]_{\mathcal{R}}=\left\lfloor\begin{array}{c}y \\\ z\end{array}\right\rfloor as coordenadas de um ponto P em relação ao sistema de coordenadas \mathcal{R}=\{O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} e [P]_{\mathcal{S}}=\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\\ y^{\prime} \\\ z^{\prime}\end{array}\right], em relação ao sistema de coordenadas \mathcal{S}=\left\{O, U_{1}, U_{2}, U_{3}\right\}. Suponha que temos a seguinte relação:
\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 / 2 & -\sqrt{3} / 2 \\\\ 0 & \sqrt{3} / 2 & 1 / 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\\ y^{\prime} \\\ z^{\prime} \end{array}\right]
Quais são os vetores U_{1}, U_{2} e U_{3} ?

Passo 1

O enunciado diz que as coordenadas de um ponto P nos dois sistemas estão relacionadas por
\begin{pmatrix} x\\\ y\\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac12 & -\tfrac{\sqrt3}{2}\\\\ 0 & \tfrac{\sqrt3}{2} & \tfrac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'\\\ y'\\\ z' \end{pmatrix}.
Aqui \{O,\vec i,\vec j,\vec k\} é a base canônica e \{O,U_1,U_2,U_3\} é a outra base. Precisamos achar as coordenadas de U_1,U_2,U_3 na base canônica.

Passo 2

Lembrando de mudança de base: se
[P]_{\mathcal R} = M\,[P]_{\mathcal S},
então as colunas de M são exatamente as coordenadas dos vetores U_1,U_2,U_3 na base \mathcal R. Ou seja,
M = \bigl[\,[U_1]_{\mathcal R}\;\big|\;[U_2]_{\mathcal R}\;\big|\;[U_3]_{\mathcal R}\bigr].

Passo 3

Basta ler as colunas da matriz:
  • a primeira coluna é \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
  • a segunda é \begin{pmatrix}0\\tfrac12\\tfrac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix},
  • a terceira é \begin{pmatrix}0\\\ -\tfrac{\sqrt3}{2}\\tfrac12\end{pmatrix}.
Isso significa que, em coordenadas canônicas,
U_1 = 1\;\vec i + 0\;\vec j + 0\;\vec k, \quad U_2 = 0\;\vec i + \tfrac12\,\vec j + \tfrac{\sqrt3}{2}\,\vec k, \quad U_3 = 0\;\vec i - \tfrac{\sqrt3}{2}\,\vec j + \tfrac12\,\vec k.

Resposta

U_1 = (1,0,0), U_2 = \bigl(0,\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr), U_3 = \bigl(0,-\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12\bigr)

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