(2,0 pontos) Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
a) ( ) Se A e B sio matrizes quadradas de mesma ordem tais que A B é uma matriz nula, entrö A é nula ou B é nula.
b) ( ) Para toda matriz A de ordem 2 \times 2 e todo \lambda \in \mathbb{R}, ten-se \operatorname{det}(\lambda A)=\lambda^{2} \operatorname{det} A.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmações sobre matrizes quadradas de ordem n e pede para dizer se cada uma é verdadeira ou falsa, justificando. O conteúdo necessário é:
– Saber que no anel das matrizes existem divisores de zero (produto nulo sem fatores nulos).
– Conhecer a propriedade de homogeneidade do determinante: para toda matriz n\times n e todo escalar \lambda, vale \det(\lambda A)=\lambda^n\det(A).

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem tais que AB é a matriz nula, então A é nula ou B é nula.”
Para refutar, basta dar um contraexemplo em ordem 2. Considere
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Calculamos
AB = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot0 + 0\cdot1 & 1\cdot0 + 0\cdot0\\[4pt] 0\cdot0 + 0\cdot1 & 0\cdot0 + 0\cdot0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Nem A nem B são a matriz nula, mas AB é nula. Logo, a afirmação é falsa.]

Passo 3

Analisando a afirmação (b): “Para toda matriz A de ordem 2\times2 e todo \lambda\in\mathbb{R}, tem-se \det(\lambda A)=\lambda^{2}\det A.”
Sabemos que, em geral, se A é n\times n, então multiplicar cada linha (ou cada coluna) de A por \lambda resulta num fator \lambda no determinante, e são n linhas. Portanto
\det(\lambda A)=\lambda^n\det(A).
No caso n=2, fica exatamente
\det(\lambda A)=\lambda^2\det(A),
que coincide com a afirmação. Logo, ela é verdadeira.

Resposta

(a) F
(b) V

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