(2,0 pontos) Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
a) ( ) Se
e
sio matrizes quadradas de mesma ordem tais que
é uma matriz nula, entrö
é nula ou
é nula.
b) ( ) Para toda matriz
de ordem
e todo
, ten-se
.
a) ( ) Se
b) ( ) Para toda matriz
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmações sobre matrizes quadradas de ordem
e pede para dizer se cada uma é verdadeira ou falsa, justificando. O conteúdo necessário é:
– Saber que no anel das matrizes existem divisores de zero (produto nulo sem fatores nulos).
– Conhecer a propriedade de homogeneidade do determinante: para toda matriz e todo escalar
, vale
.
– Saber que no anel das matrizes existem divisores de zero (produto nulo sem fatores nulos).
– Conhecer a propriedade de homogeneidade do determinante: para toda matriz
Passo 2
Analisando a afirmação (a): “Se
e
são matrizes quadradas de mesma ordem tais que
é a matriz nula, então
é nula ou
é nula.”
Para refutar, basta dar um contraexemplo em ordem . Considere
Para refutar, basta dar um contraexemplo em ordem
Calculamos
Nem
nem
são a matriz nula, mas
é nula. Logo, a afirmação é falsa.]
Passo 3
Analisando a afirmação (b): “Para toda matriz
de ordem
e todo
, tem-se
.”
Sabemos que, em geral, se é
, então multiplicar cada linha (ou cada coluna) de
por
resulta num fator
no determinante, e são
linhas. Portanto
Sabemos que, em geral, se
No caso
, fica exatamente
que coincide com a afirmação. Logo, ela é verdadeira.
Resposta
(a) F
(b) V
(b) V