Considere o plano pi: x+y+z-1=0.
a. Determine um vetor normal n ao plano.
b. Dê uma equação da reta r que passa pela origem e tem n como vetor diretor.
c. Determine o ponto de intersecção P entre r e pi.
d. Determine a distância entre a origem e o ponto P.

Passo 1

A questão é de geometria analítica: temos o plano π dado por x+y+z-1=0 e precisamos usar conceitos de vetor normal a um plano, reta paramétrica e fórmula de distância entre pontos.

Passo 2

Para achar o vetor normal a um plano, basta lembrar que, se o plano é dado por ax+by+cz+d=0, então um vetor normal é (a,b,c). Aqui, como o plano é x+y+z-1=0, temos
vec n=(1,1,1)

Passo 3

Uma reta que passa pela origem (0,0,0) e tem vetor diretor vec n=(1,1,1) pode ser descrita parametricamente como
x=t, y=t, z=t, tin R
Chamamos essa reta de r.

Passo 4

Para encontrar o ponto de interseção P entre r e π, substituímos na equação do plano x=t, y=t, z=t:
t + t + t -1 = 0 implies 3t -1 =0 implies t=tfrac13

Passo 5

Logo,
P=l(tfrac13,tfrac13,tfrac13r)

Passo 6

A distância entre a origem O=(0,0,0) e P é dada pela fórmula
d(O,P)=raizl(tfrac13-0r)^2+l(tfrac13-0r)^2+l(tfrac13-0r)^2 = raiz3cdottfrac19 = tfrac1raiz3

Resposta

a) n=(1,1,1)
b) r:,x=t,;y=t,;z=t,;tin R
c) P=(tfrac13,tfrac13,tfrac13)
d) d(O,P)=tfrac1raiz3

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