Verifique se π1=π2 nos seguintes casos:
π1: x-3 y+2 z+1=0, π2: 2 x-6 y+4 z+1=0

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se as duas superfícies planas em R³ dadas por π₁: x−3y+2z+1=0 e π₂: 2x−6y+4z+1=0 são de fato a mesma. O conteúdo é geometria analítica de planos, e vamos precisar comparar vetores normais e termos independentes.

Passo 2

Extraímos os vetores normais de cada plano: para π₁ o normal é n₁=(1,−3,2) e para π₂ o normal é n₂=(2,−6,4). Observamos que n₂=2·n₁, ou seja, os normais são proporcionais.

Passo 3

Para que dois planos sejam coincidentes, além dos normais serem proporcionais, os termos independentes devem satisfazer a mesma razão. Aqui o termo independente de π₁ é d₁=1 e de π₂ é d₂=1. Se n₂=2·n₁, deveríamos ter d₂=2·d₁, isto é 1=2·1, o que não vale.

Passo 4

Como a razão entre os termos independentes não coincide com o fator de proporcionalidade dos normais, concluímos que os planos são paralelos (normais proporcionais) mas distintos.

Resposta

Não. As duas superfícies são paralelas mas não coincidem, logo π₁ ≠ π₂.

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