Sejam O A=(0,3,2), O B=(1,5,1) e O C=(1,2,-1).
a. Demonstre que o quadrilátero de vértices O, A, B e C é um para<=logramoé.
b. Calcule a sua área.
c. Calcule a distância de A à reta OC.

Passo 1

Resumindo o problema: temos os vetores OA=(0,3,2), OB=(1,5,1) e OC=(1,2,-1). O objetivo é provar que o quadrilátero OABC é um paralelogramo, calcular sua área e determinar a distância do ponto A à reta OC. Vamos usar operações com vetores (diferenças), produto vetorial e normas.

Passo 2

Para mostrar que OABC é um paralelogramo, comparamos os lados opostos. Calculamos
AB=OB-OA=(1,5,1)-(0,3,2)=(1,2,-1)
e observamos que
AB=OC=(1,2,-1)
Também
BC=OC-OB=(1,2,-1)-(1,5,1)=(0,-3,-2)
e
OA=(0,3,2)
logo
BC=-OA
Como lados opostos são paralelos e congruentes, OABC é um paralelogramo.

Passo 3

Para calcular a área, escolhemos dois lados adjacentes em O, por exemplo OA e OC. A área do paralelogramo é
|OAtimesOC|
Fazendo o produto vetorial:
OAtimesOC=(0,3,2)times(1,2,-1)=(-7,2,-3)
Assim
|OAtimesOC|=raiz(-7)^2+2^2+(-3)^2=raiz62

Passo 4

Para a distância de A à reta OC, usamos a fórmula
d=|OAtimesOC||OC|
Já temos |OAtimesOC|=raiz62 e
|OC|=raiz1^2+2^2+(-1)^2=raiz6
Logo
d=raiz62raiz6=raiz626=raiz313

Resposta

a) O quadrilátero OABC é um paralelogramo pois AB=OC e BC=-OA.
b) Área = raiz62.
c) Distância de A à reta OC = raiztfrac313.

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