Demonstre as seguintes identidades vetoriais (use as anteriores para provar as seguintes):
a. a wed>=(b wed>= c)=(a cdot c) b-(a cdot b) c,
b. (a wed>= b) wed>= c=(c cdot a) b-(c cdot b) a,
c. (a+b) cdot(a wed>= c) wed>=(a+b)=0,
d. a wed>=[a wed>=(a wed>= b)]=(a cdot a)(b wed>= a),
e. (a wed>= b) wed>=(c wed>= d)=(a wed>= b cdot d) c-(a wed>= b cdot c) d,
f. (a wed>= b) cdot(c wed>= d)=(a cdot c)(b cdot d)-(a cdot d)(b cdot c),
g. (a wed>= b) wed>=(a wed>= c)=(a cdot b wed>= c) a,
h. a wed>=(b wed>= c)+b wed>=(c wed>= a)+c wed>=(a wed>= b)=0. (identidade de Jacobi)

Passo 1

Temos que demonstrar oito identidades vetoriais que envolvem produto escalar cdot e vetorial times. Vamos utilizar como ferramentas a definição de produto vetorial via símbolo de Levi–Civita, a anticomutatividade e distributividade do produto vetorial, e as identidades de produto vetorial triplo e escalar triplo já conhecidas.

Passo 2

Para a identidade a) usamos índice de Levi–Civita. Primeiro note que
(atimes(btimesc))i=epsilonijkaj(btimesc)k=epsilonijkajepsilonklmblcm
e aplicamos
epsilonijkepsilonklm=de
para obter
(atimes(btimesc))i=(acdotc)bi-(acdotb)ci
ou seja
atimes(btimesc)=(acdotc)b-(acdotb)c

Passo 3

Para b) usamos a anticomutatividade do vetorial:
(atimesb)timesc=-ctimes(atimesb),
e aplicamos a) com os vetores trocados, obtendo
(atimesb)timesc=(ccdota)b-(ccdotb)a

Passo 4

Para c) aplicamos b) com X=atimesc e Y=a+b:
(atimesc)times(a+b)=((a+b)cdota)c-((a+b)cdotc)a
Fazendo o escalar com a+b aparece
((a+b)cdota)((a+b)cdotc)-((a+b)cdotc)((a+b)cdota)=0, como queríamos.

Passo 5

Para d) primeiro aplicamos a) a atimes(atimesb):
atimes(atimesb)=(acdotb)a-(acdota)b
Depois
atimes[atimes(atimesb)]=(acdotb)(atimesa)-(acdota)(atimesb)=-(acdota)(atimesb)
E como btimesa=-atimesb, segue
atimes[atimes(atimesb)]=(acdota)(btimesa)

Passo 6

Para e) usamos Levi–Civita diretamente:
[(atimesb)times(ctimesd)]i=epsilonijkepsilonjmnepsilonkpqam bn cp dq
com
epsilonijkepsilonkpq=de
que leva a

Passo 7

Para f) escrevemos
(atimesb)cdot(ctimesd)=acdot(btimes(ctimesd))
e aplicamos a) ao triplo btimes(ctimesd)=(bcdotd)c-(bcdotc)d, obtendo
(atimesb)cdot(ctimesd)=(acdotc)(bcdotd)-(acdotd)(bcdotc)

Passo 8

Para g) aplicamos b) a X=a, Y=b e Z=atimesc:
(atimesb)times(atimesc)=((atimesc)cdota)b-((atimesc)cdotb)a
Como (atimesc)cdota=0 e (atimesc)cdotb=-acdot(btimesc), vem
(atimesb)times(atimesc)=(acdot(btimesc))a

Passo 9

Finalmente, para h) basta expandir cada termo usando a):
atimes(btimesc)=(acdotc)b-(acdotb)c,
btimes(ctimesa)=(bcdota)c-(bcdotc)a,
ctimes(atimesb)=(ccdotb)a-(ccdota)b,
e verificar que somando tudo os coeficientes de a,b,c cancelam, dando 0.

Resposta

As identidades a)–h) foram demonstradas conforme as etapas acima.

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