Demonstre as seguintes identidades vetoriais (use as anteriores para provar as seguintes):
a.
,
b.
,
c.
,
d.
,
e.
,
f.
,
g.
,
h.
. (identidade de Jacobi)
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Passo 1
Temos que demonstrar oito identidades vetoriais que envolvem produto escalar
e vetorial
. Vamos utilizar como ferramentas a definição de produto vetorial via símbolo de Levi–Civita, a anticomutatividade e distributividade do produto vetorial, e as identidades de produto vetorial triplo e escalar triplo já conhecidas.
Passo 2
Para a identidade a) usamos índice de Levi–Civita. Primeiro note que
e aplicamos
para obter
ou seja
Passo 3
Para b) usamos a anticomutatividade do vetorial:
e aplicamos a) com os vetores trocados, obtendo
Passo 4
Para c) aplicamos b) com
e
:
Fazendo o escalar com
aparece
Passo 5
Para d) primeiro aplicamos a) a
:
Depois
E como
, segue
Passo 6
Para e) usamos Levi–Civita diretamente:
com
que leva a
Passo 7
Para f) escrevemos
e aplicamos a) ao triplo
, obtendo
Passo 8
Para g) aplicamos b) a
,
e
:
Como
e
, vem
Passo 9
Finalmente, para h) basta expandir cada termo usando a):
e verificar que somando tudo os coeficientes de
cancelam, dando
.
Resposta
As identidades a)–h) foram demonstradas conforme as etapas acima.