Considere no plano uma reflexão
em torno do eixo
e uma projeção
sobre o eixo
.
É verdade que
para todo
? É verdade que
? As transformações
e
têm algum auto-valor comum? Explique.
É verdade que
Passo 1
O enunciado trata de duas transformações lineares em
:
– , reflexão em torno do eixo
, que age como
–
–
, projeção ortogonal sobre o eixo
, dada por
Precisamos checar se
, se
é idempotente (
) e quais são os autovalores de
e de
, buscando algum em comum.
Passo 2
Calculemos
e
para
.
Primeiro
Primeiro
então
Por outro lado
logo
Como em ambos os casos obtemos
, concluímos que
Passo 3
Verifiquemos a idempotência de
.
Já que
Já que
temos
Portanto
.
Passo 4
Agora achamos os autovalores.
Para resolvemos
Para
Dessa igualdade vêm as equações
e
.
– Se então
e força
.
– Se então
e força
.
Logo os autovalores de são
e
.
– Se
– Se
Logo os autovalores de
Para
resolvemos
Isto dá
e
.
– Se então
(autovetores ao longo do eixo
).
– Se então
(autovetores ao longo do eixo
).
Portanto os autovalores de são
e
.
– Se
– Se
Portanto os autovalores de
Passo 5
Comparando os conjuntos de autovalores vemos que o único valor comum é
Contudo, os vetores que satisfazem
(isto é,
) estão no eixo
, e os que satisfazem
(isto é,
) estão no eixo
. A interseção entre esses subespaços é apenas o vetor zero, então não existe vetor não-nulo que seja autovetor simultâneo de
e
.
Resposta
Sim,
para todo
.
Sim, .
Os autovalores de são
e
, os de
são
e
, logo o único autovalor comum é
. Contudo, não há autovetor não-nulo compartilhado pelas duas transformações.
Sim,
Os autovalores de