Considere no plano uma reflexão R em torno do eixo y e uma projeção P sobre o eixo x.
É verdade que R(P(v))=P(R(v)) para todo v=(x, y) \in \mathrm{R}^{2} ? É verdade que P(P(v))=P(v) ? As transformações R e P têm algum auto-valor comum? Explique.

Passo 1

O enunciado trata de duas transformações lineares em \mathbb{R}^2:
R, reflexão em torno do eixo y, que age como
R(x,y)=(-x,y),
P, projeção ortogonal sobre o eixo x, dada por
P(x,y)=(x,0).
Precisamos checar se R\circ P = P\circ R, se P é idempotente ( P^2=P) e quais são os autovalores de R e de P, buscando algum em comum.

Passo 2

Calculemos R(P(v)) e P(R(v)) para v=(x,y).
Primeiro
P(v)=P(x,y)=(x,0),
então
R\bigl(P(v)\bigr)=R(x,0)=(-x,0).
Por outro lado
R(v)=R(x,y)=(-x,y),
logo
P\bigl(R(v)\bigr)=P(-x,y)=(-x,0).
Como em ambos os casos obtemos (-x,0), concluímos que
R(P(v))=P(R(v)) \quad\text{para todo }v\in\mathbb{R}^2.

Passo 3

Verifiquemos a idempotência de P.
Já que
P(v)=(x,0),
temos
P\bigl(P(v)\bigr)=P(x,0)=(x,0)=P(v).
Portanto P^2=P.

Passo 4

Agora achamos os autovalores.
Para R resolvemos
R(x,y)=(\lambda x,\lambda y)\;\Longrightarrow\;(-x,y)=(\lambda x,\lambda y).
Dessa igualdade vêm as equações -x=\lambda x e y=\lambda y.
– Se y\neq0 então \lambda=1 e força x=0.
– Se x\neq0 então \lambda=-1 e força y=0.
Logo os autovalores de R são \lambda=1 e \lambda=-1.
Para P resolvemos
P(x,y)=(\lambda x,\lambda y)\;\Longrightarrow\;(x,0)=(\lambda x,\lambda y).
Isto dá x=\lambda x e 0=\lambda y.
– Se \lambda=1 então y=0 (autovetores ao longo do eixo x).
– Se \lambda=0 então x=0 (autovetores ao longo do eixo y).
Portanto os autovalores de P são \lambda=1 e \lambda=0.

Passo 5

Comparando os conjuntos de autovalores vemos que o único valor comum é
\lambda=1.
Contudo, os vetores que satisfazem R(v)=v (isto é, x=0) estão no eixo y, e os que satisfazem P(v)=v (isto é, y=0) estão no eixo x. A interseção entre esses subespaços é apenas o vetor zero, então não existe vetor não-nulo que seja autovetor simultâneo de R e P.

Resposta

Sim, R(P(v))=P(R(v)) para todo v.
Sim, P(P(v))=P(v).
Os autovalores de R são 1 e -1, os de P são 1 e 0, logo o único autovalor comum é 1. Contudo, não há autovetor não-nulo compartilhado pelas duas transformações.

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