Uma fazenda de café, na safra de 2013, produziu as sacas para embalar os grãos em dois materiais diferentes: algodāo cru e sintético. Para produzir uma saca de algodão cru se precisaram 3000 \mathrm{~m}^{2} de tecido e 15000 m de linha. Analogamente, para cada saca de algodão sintético se precisou de 5000 \mathrm{~m}^{2} de tecido e 20000 m de linha. Seja v=\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right] o vetor produção, onde x é o número de sacas de algodão cru e, y é o número de sacas de tecido sintético.
8) Encontrar a expressão que representa o tecido total que se precisa para embalar as x sacas de algodão cru junto com as y sacas de algodão sintético. Analoganente, obter a expressão que representa o total de linka. As duas expressões anteriores podem ser representadas por meio de uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} ?

Passo 1

O enunciado pede para determinar, em função do vetor de produção
\displaystyle v=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
onde x é o número de sacas de algodão cru e y o número de sacas sintéticas, as expressões para:
1. o total de tecido necessário, e
2. o total de linha necessário.
O conteúdo envolvido é combinação linear e transformações lineares em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Cada saca de algodão cru consome 3000 \,\mathrm{m}^2 de tecido, e cada saca sintética consome 5000 \,\mathrm{m}^2.
Logo, o tecido total T_{\text{tecido}} é dado por
T_{\text{tecido}}(x,y) = 3000\,x + 5000\,y.

Passo 3

Cada saca de algodão cru consome 15000 \,\mathrm{m} de linha, e cada saca sintética consome 20000 \,\mathrm{m}.
Portanto, o total de linha T_{\text{linha}} é
T_{\text{linha}}(x,y) = 15000\,x + 20000\,y.

Passo 4

As duas funções T_{\text{tecido}} e T_{\text{linha}} são combinações lineares de x e y. Podemos, então, definir uma única transformação linear
T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,
tal que
T(x,y) = \begin{pmatrix} T_{\text{tecido}}(x,y)\\[6pt] T_{\text{linha}}(x,y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3000x + 5000y\\[3pt] 15000x + 20000y \end{pmatrix}.
Em termos de matriz,
T(x,y) = \begin{pmatrix} 3000 & 5000\\\\ 15000 & 20000 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
o que mostra claramente que T é linear.]

Resposta

O tecido total é
T_{\text{tecido}}(x,y) = 3000\,x + 5000\,y,
a linha total é
T_{\text{linha}}(x,y) = 15000\,x + 20000\,y,
e sim: ambas podem ser representadas pela transformação linear
T(x,y) = \begin{pmatrix} 3000x + 5000y\\\\ 15000x + 20000y \end{pmatrix}.

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