Qual dos subconjuntos abaixo gera o espaço vetorial
?
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado apresenta quatro subconjuntos de
e pergunta qual deles gera todo o espaço vetorial
. O conteúdo envolvido é o conceito de espaço gerado (span) e independência linear em
. Em particular, em
basta encontrar dois vetores linearmente independentes para formar uma base que gera o espaço.
Passo 2
Analisando
. Se os vetores são múltiplos um do outro, então geram apenas uma reta. Verificamos que
Como há colinearidade, a dimensão do subespaço gerado por
é 1, logo
não gera
.
Passo 3
Analisando
e
. O conjunto
tem apenas um vetor não nulo, gerando uma reta em
. Em
, o vetor
não acrescenta nada, sobrando apenas
. Assim ambos geram subespaços de dimensão 1 e não todo
.
Passo 4
Analisando
. Em
basta encontrar dois vetores independentes para gerar todo o espaço. Tomemos os dois primeiros vetores
e
. Calculamos o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base de
. Portanto
gera
.]
Resposta
(d)