Qual dos subconjuntos abaixo gera o espaço vetorial \mathbb{R}^{2} ?
(a) A=\{(2,-3),(-8,12)\}
(b) B=\{(1,1)\}
(c) C=\{(0,0),(1,1)\}
(d) D=\{(1,1),(1,2),(2,3)\}

Passo 1

O enunciado apresenta quatro subconjuntos de \mathbb{R}^2 e pergunta qual deles gera todo o espaço vetorial \mathbb{R}^2. O conteúdo envolvido é o conceito de espaço gerado (span) e independência linear em \mathbb{R}^2. Em particular, em \mathbb{R}^2 basta encontrar dois vetores linearmente independentes para formar uma base que gera o espaço.

Passo 2

Analisando A = \{(2,-3),\,(-8,12)\}. Se os vetores são múltiplos um do outro, então geram apenas uma reta. Verificamos que
(-8,12) = -4\cdot(2,-3).
Como há colinearidade, a dimensão do subespaço gerado por A é 1, logo A não gera \mathbb{R}^2.

Passo 3

Analisando B = \{(1,1)\} e C = \{(0,0),\,(1,1)\}. O conjunto B tem apenas um vetor não nulo, gerando uma reta em \mathbb{R}^2. Em C, o vetor (0,0) não acrescenta nada, sobrando apenas (1,1). Assim ambos geram subespaços de dimensão 1 e não todo \mathbb{R}^2.

Passo 4

Analisando D = \{(1,1),\,(1,2),\,(2,3)\}. Em \mathbb{R}^2 basta encontrar dois vetores independentes para gerar todo o espaço. Tomemos os dois primeiros vetores (1,1) e (1,2). Calculamos o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} = 1\cdot 2 - 1\cdot 1 = 1.
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^2. Portanto D gera \mathbb{R}^2.]

Resposta

(d)

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