Considere os pontos A(3,2,3), B(2,-1,-4) e C(0,2,2).
Consiga as equaçōes paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B. É possivel obter a equação cartesiana de um plano que passa pelos trés pontos? Explique com detalhe.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço:
A(3,2,3),\;B(2,-1,-4),\;C(0,2,2).
Precisamos de duas coisas:
  1. As equações paramétricas da reta que passa por A e B.
  2. Ver se dá para achar a equação cartesiana do plano que contém A, B e C, explicando em detalhe.

Passo 2

Para a reta AB escolhemos um parâmetro t. O vetor diretor é
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-3,\,-1-2,\,-4-3)=(-1,\,-3,\,-7).
Logo as equações paramétricas são
\begin{cases} x=3-1\cdot t,\\\ y=2-3\cdot t,\\\ z=3-7\cdot t. \end{cases}

Passo 3

Antes de escrever o plano, é preciso checar se A, B e C não estão colineares. Calculamos
\overrightarrow{AC}=C-A=(0-3,\;2-2,\;2-3)=(-3,0,-1).
Se \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} fossem múltiplos um do outro, os três pontos seriam colineares e não haveria um plano único. Mas não existe escalar \lambda tal que
(-1,-3,-7)=\lambda\,(-3,0,-1),
pois, por exemplo, -3\lambda=-3 \lambda=1 e aí a segunda componente exigiria -3=0, o que é impossível. Logo, os três pontos são não-colineares e determinam um plano único.

Passo 4

Para achar a equação do plano usamos o vetor normal \mathbf{n} dado por
\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.
Fazendo o produto vetorial:
\mathbf{n} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ -1&-3&-7\\\\ -3&0&-1 \end{vmatrix} =(3,\;20,\;-9).

Passo 5

A equação cartesiana de um plano com normal \mathbf{n}=(3,20,-9) que passa por A(3,2,3) é
3\,(x-3)+20\,(y-2)-9\,(z-3)=0.
Expandindo:
3x-9+20y-40-9z+27=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x+20y-9z-22=0.

Resposta

As equações da reta AB\) são \[\begin{cases} x=3-t,\\\ y=2-3t,\\\ z=3-7t. \end{cases}
Sim, é possível obter a equação cartesiana do plano que passa por A\], \(B e C porque eles não são colineares. A equação do plano é
3x+20y-9z-22=0.

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