Considere os pontos A(3,2,3), B(2,-1,-4) e C(0,2,2).
Explique a razio pela qual é possivel formar um triângulo com os vértices A, B e C. Logo, calcule a área do triângulo usando produto vetorial. O triângulo tem algum ângulo reto?

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(3,2,3), B(2,-1,-4) e C(0,2,2). Precisamos (1) mostrar que eles não são colineares (logo formam um triângulo), (2) calcular a área desse triângulo pelo produto vetorial e (3) verificar se há algum ângulo reto.

Passo 2

Calcular os vetores a partir de A:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-3,\,-1-2,\,-4-3) = (-1,-3,-7),
\overrightarrow{AC} = C - A = (0-3,\,2-2,\,2-3) = (-3,0,-1).
Como \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são múltiplos escalares um do outro, eles não são colineares, logo A,B,C formam um triângulo.

Passo 3

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -1 & -3 & -7\\\\ -3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (3)\,\mathbf{i} -(-20)\,\mathbf{j} +(-9)\,\mathbf{k} = (3,20,-9).

Passo 4

A área do triângulo é
\text{Área} = \tfrac12\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\| = \tfrac12\sqrt{3^{2}+20^{2}+(-9)^{2}} = \tfrac12\sqrt{9+400+81} = \tfrac12\sqrt{490} = \tfrac{7\sqrt{10}}{2}.Á

Passo 5

Para ver se há ângulo reto, checamos produtos internos entre lados. Seja
\overrightarrow{CA}=A-C=(3,0,1), \quad \overrightarrow{CB}=B-C=(2,-3,-6).
Então
\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} =3\cdot2 + 0\cdot(-3) + 1\cdot(-6) =6 -6 = 0.
Como esse produto interno é zero, o ângulo em C é reto.

Resposta

A área do triângulo ABC é \tfrac{7\sqrt{10}}{2} e o triângulo é retângulo em C.

Exercícios relacionados