Considere o plano alpha e a reta r de equações
alpha: x+2 y-z=3 r:(x, y, z)=(2,1,1)+t(2,1,4)
Mostre que r subset alpha.

Passo 1

O enunciado nos dá o plano alpha de equação
x + 2y - z = 3
e a reta r dada por
(x,y,z) = (2,1,1) + t,(2,1,4),,
com tinR. Para mostrar que rsubsetalpha, basta verificar que todo ponto genérico de r satisfaz a equação do plano.

Passo 2

Um ponto genérico P de r é
P(t) = (x,y,z) = (2+2t,;1+t,;1+4t)

Passo 3

Substituímos x=2+2t, y=1+t, z=1+4t na equação de alpha e vemos se obtemos sempre 3:
x+2y-z = (2+2t) + 2(1+t) - (1+4t) = 2+2t + 2+2t -1 -4t = (2+2-1) + (2t+2t-4t) = 3 + 0 = 3
Como essa igualdade vale para todo t, todo ponto de r satisfaz a equação de alpha.

Passo 4

Concluímos que cada ponto de r está em alpha, logo
r subset alpha

Resposta

r subset alpha.

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