Considere os planos
alpha: 2 x-y+z=1 beta: 4 x-2 y+2 z=5
Determine a reta perpendicular a alpha e a beta e que passa pela origem.

Passo 1

O enunciado dá os planos
alphacolon 2x - y + z = 1
betacolon 4x - 2y + 2z = 5
e pede a reta que passa pela origem e é perpendicular a ambos. Lembrando que uma reta é perpendicular a um plano quando sua direção é paralela ao vetor normal do plano.

Passo 2

O vetor normal ao plano alpha é
nalpha = (2,,-1,,1)
e o vetor normal ao plano beta é
nbeta = (4,,-2,,2)

Passo 3

Note que
nbeta = 2, nalpha,
ou seja, os dois normais são colineares. Isso indica que alpha e beta são planos paralelos e compartilham a mesma direção de normal.

Passo 4

Uma reta perpendicular a ambos os planos deve ter direção paralela a esses normais. Podemos, portanto, escolher como vetor direção
v = (2,,-1,,1)
Como a reta passa pela origem, sua equação vetorial é
ellcolon r(t) = t,(2,,-1,,1)

Resposta

ellcolon (x,y,z) = (2t,,-t,,t), ,tinR

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