Considere as retas
r:(x, y, z)=(-1,-1,4)+t(1,1,-1) s:(x, y, z)=(1,3,7)+s(-2,0,1)
Determine o plano alpha que contém r e é paralelo a s.

Passo 1

O enunciado dá as retas
r:(x,y,z)=(-1,-1,4)+t(1,1,-1), s:(x,y,z)=(1,3,7)+s(-2,0,1),
e pede o plano alpha que contém r e é paralelo a s. Para isso, vamos precisar de um ponto de r e de dois vetores diretores — um de r e outro de s.

Passo 2

Escolhemos o ponto P0 em r correspondente a t=0, ou seja
P0 = (-1,-1,4)
Os vetores diretores são
v = (1,1,-1)(de (r)), w = (-2,0,1)(de (s))
Como w não é múltiplo de v, eles geram um plano.

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial
n = vtimesw = i&j&k 1&1&-1 -2&0&1 = (1,1,2)

Passo 4

Usamos a forma ponto-normal do plano: ncdotl((x,y,z)-P0r)=0. Logo,
(1,1,2)cdotl((x+1),(y+1),(z-4)r)=0
Longrightarrow x + y + 2z -6 = 0

Resposta

O plano alpha é dado por
alpha: x + y + 2z -6 = 0

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