Considere as retas
& r:(x, y, z)=(7,2,-2)+t(-3,0,1) & s:(x, y, z)=(-1,1,2)+s(2,1,-2)
Mostre que r e s são concorrentes calculando o ponto P=r cap s.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em forma paramétrica no espaço:
r: (x,y,z) = (7,2,-2) + t,(-3,0,1),
s: (x,y,z) = (-1,1,2) + s,(2,1,-2)
O conteúdo aqui é interseção de retas em R^3: para mostrar que elas se cruzam, basta igualar as coordenadas e encontrar parâmetros t e s que satisfaçam simultaneamente as três equações.

Passo 2

Igualando as coordenadas de r e s, obtemos o sistema
7 - 3t = -1 + 2s,
2 = 1 + s,
-2 + t = 2 - 2s

Passo 3

Da segunda equação,
2 = 1 + s Longrightarrow s = 1

Passo 4

Substituindo s=1 na primeira equação,
7 - 3t = -1 + 2cdot1 = 1 Longrightarrow 7 - 3t = 1 Longrightarrow 3t = 6 Longrightarrow t = 2

Passo 5

Verificamos a terceira equação com t=2 e s=1:
-2 + t = -2 + 2 = 0,
2 - 2s = 2 - 2cdot1 = 0,
logo está satisfeita, confirmando a consistência.

Passo 6

O ponto de interseção P corresponde a t=2 em r, ou seja,
P = (7 - 3cdot2,;2,;-2 + 2) = (1,2,0)

Resposta

O ponto de interseção é P = (1,2,0).

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