Considere o plano
e a reta
de equações
(a) Mostre que
.
(b) Determine o plano que contém
e que é perpendicular a
.
(c) Dê um exemplo de uma reta contida em
e que é perpendicular a
.
(b) Determine o plano que contém
(c) Dê um exemplo de uma reta contida em
Passo 1
O enunciado dá o plano
e a reta
Pede-se
(a) mostrar que ,
(b) encontrar o plano que contém e é perpendicular a
,
(c) dar um exemplo de reta contida em e perpendicular a
.
(a) mostrar que
(b) encontrar o plano que contém
(c) dar um exemplo de reta contida em
Passo 2
Para ver que
basta inserir
na equação de
:
Como o lado esquerdo vale sempre
, temos
.
Passo 3
Um plano
que contenha
e seja perpendicular a
deve ter normal
satisfazendo
onde
é o normal de
e
é o vetor diretor de
.
Passo 4
Calculamos
Usando o ponto
e esse
, a equação de
é
Passo 5
Para achar uma reta em
perpendicular a
buscamos um vetor
tal que
Uma escolha é
Passo 6
Logo, um exemplo de reta pedida é
que fica em
e tem direção ortogonal a
.
Resposta
(a) Inserindo
em
obtém-se
para todo
, logo
.
(b) O plano é
(b) O plano é
(c) Por exemplo, a reta
está em
e é perpendicular a
.