Considere o plano alpha e a reta r de equações
alpha: x+2 y-z=3 r:(x, y, z)=(2,1,1)+t(2,1,4)
(a) Mostre que r subset alpha.
(b) Determine o plano que contém r e que é perpendicular a alpha.
(c) Dê um exemplo de uma reta contida em alpha e que é perpendicular a r.

Passo 1

O enunciado dá o plano alphacolon x+2y-z=3 e a reta
rcolon (x,y,z)=(2,1,1)+t(2,1,4)
Pede-se
(a) mostrar que rsubsetalpha,
(b) encontrar o plano que contém r e é perpendicular a alpha,
(c) dar um exemplo de reta contida em alpha e perpendicular a r.

Passo 2

Para ver que rsubsetalpha basta inserir
x(t)=2+2t, y(t)=1+t, z(t)=1+4t
na equação de alpha:
x(t)+2y(t)-z(t) =(2+2t)+2(1+t)-(1+4t) =2+2t+2+2t-1-4t =3
Como o lado esquerdo vale sempre 3, temos rsubsetalpha.

Passo 3

Um plano s que contenha r e seja perpendicular a alpha deve ter normal ns satisfazendo
nscdotnalpha=0 e nscdotv=0,
onde nalpha=(1,2,-1) é o normal de alpha e v=(2,1,4) é o vetor diretor de r.

Passo 4

Calculamos
ns =nalphatimesv =(1,2,-1)times(2,1,4) =(9,-6,-3)sim(3,-2,-1)
Usando o ponto (2,1,1)in r e esse ns, a equação de s é
3(x-2)-2(y-1)-1(z-1)=0 ;Longrightarrow; 3x-2y-z=3

Passo 5

Para achar uma reta em alpha perpendicular a r buscamos um vetor d tal que
dcdotnalpha=0 e dcdotv=0
Uma escolha é
d =vtimesnalpha =(2,1,4)times(1,2,-1) =(-9,6,3)sim(-3,2,1)

Passo 6

Logo, um exemplo de reta pedida é
(x,y,z)=(2,1,1)+s,(-3,2,1),
que fica em alpha e tem direção ortogonal a v.

Resposta

(a) Inserindo (2+2t,;1+t,;1+4t) em x+2y-z obtém-se 3 para todo t, logo rsubsetalpha.
(b) O plano é
3x-2y-z=3
(c) Por exemplo, a reta
(x,y,z)=(2,1,1)+s,(-3,2,1)
está em alpha e é perpendicular a r.

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