Considere a reta r de equação paramétrica
(x, y, z)=(-2,7,3)+t(-2,3,1)
(a) Determine o ponto H de r que está mais próximo da origem O=(0,0,0).
(b) Determine a equação do plano pi que contém a reta r e que passa pela origem.

Passo 1

O enunciado dá a reta r com ponto inicial
P0 = (-2,7,3)
e vetor diretor
v = (-2,3,1)
(a) Para achar o ponto Hin r mais próximo da origem, vamos usar projeção ortogonal de OP0 sobre v.
(b) Para obter o plano pi que contém r e passa pela origem, usamos que esse plano é gerado pelos vetores v e OP0, e seu vetor normal é dado por produto vetorial.

Passo 2

Chamando t o parâmetro tal que
H = P0 + t,v,
queremos OHperp v, ou seja
l(P0 + t,vr)cdotv=0
Calculamos primeiro
P0cdotv=(-2)(-2)+7cdot3+3cdot1=4+21+3=28, vcdotv=(-2)^2+3^2+1^2=4+9+1=14
Logo
t = -P0cdotvvcdotv =-2814=-2
Portanto
H = (-2,7,3) + (-2),(-2,3,1) = ( -2+4,;7-6,;3-2) = (2,1,1)

Passo 3

O plano pi contém a origem e a reta r, logo é gerado pelos vetores v e OP0 = (-2,7,3). Seu vetor normal é
n = vtimesOP0 = i&j&k -2&3&1 -2&7&3 =(2,4,-8)
Uma equação de pi passa pela origem, então basta
ncdot(x,y,z)=0 Longrightarrow 2x+4y-8z=0,
que podemos simplificar dividindo por 2:
x+2y-4z=0

Resposta

(a) H=(2,1,1)
(b) Equação do plano pi: x + 2y - 4z = 0

Exercícios relacionados