Considere o plano alpha e a reta r de respectivas equações
alpha: x-y+z=1 r:(x, y, z)=(0,3,1)+t(2,-1,-3)
Ache o plano que contém r e é paralelo a alpha.

Passo 1

O enunciado dá o plano alpha de equação
x - y + z = 1
e a reta r com representação paramétrica
(x,y,z) = (0,3,1) + t,(2,-1,-3)
Queremos achar o plano que contém r e é paralelo a alpha. Para isso vamos usar o conceito de paralelismo de planos (normais iguais) e o fato de que, para uma reta estar num plano, sua direção deve ser ortogonal ao normal do plano e um ponto da reta deve satisfazer a equação do plano.

Passo 2

O vetor normal de alpha é
n = (1,,-1,,1)
Um plano paralelo a alpha deve ter o mesmo vetor normal, logo sua equação geral será
x - y + z = d,
onde d é uma constante a determinar.

Passo 3

Para que a reta r esteja contida nesse plano, sua direção v = (2,-1,-3) deve ser ortogonal a n. De fato,
ncdot v = 1cdot 2 + (-1)cdot(-1) + 1cdot(-3) = 2 + 1 - 3 = 0,
o que confirma que r pode ser paralela (e até estar) no plano buscado.

Passo 4

Basta agora exigir que um ponto da reta satisfaça a equação x - y + z = d. Tomamos o ponto inicial P0 = (0,3,1). Substituindo,
0 - 3 + 1 = d Longrightarrow d = -2

Resposta

O plano que contém r e é paralelo a alpha é
x - y + z = -2

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