Considere as retas
r:(x, y, z)=(-1,-1,4)+t(1,1,-1) s:(x, y, z)=(1,3,7)+s(-2,0,1)
Mostre que r e s são retas reversas.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3
r:;(x,y,z)=(-1,-1,4)+t,(1,1,-1), s:;(x,y,z)=(1,3,7)+s,(-2,0,1)
Queremos mostrar que r e s são retas reversas, isto é, que não são paralelas e não se interceptam — equivalente a dizer que não são coplanares.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores
u=(1,1,-1) e v=(-2,0,1).
Para serem paralelos precisaríamos de algum escalar k tal que
u=kv.
Mas, por exemplo, tfrac1-2neqtfrac10, logo não existe k que faça (1,1,-1)=k(-2,0,1).
Portanto as retas não são paralelas.

Passo 3

Usamos o critério do produto misto para verificar coplanaridade. Tomamos um ponto em cada reta, por exemplo
r0=(-1,-1,4) em r e s0=(1,3,7) em s, e definimos
w=s0-r0=(2,4,3).
Calculamos o produto vetorial
utimesv = i & j & k 1 & 1 & -1 -2 & 0 & 1 =(1,1,2)
e em seguida o produto escalar
wcdot(utimesv) =(2,4,3)cdot(1,1,2) =2+4+6=12neq 0
Como o produto misto não é zero, os três vetores u,v,w não são coplanares, logo as retas não se intersectam nem estão no mesmo plano.

Passo 4

Concluímos que as retas não são paralelas (Passo 2) e não são coplanares (Passo 3), portanto são retas reversas.

Resposta

As retas r e s são reversas porque seus vetores diretores não são colineares e o produto misto entre o vetor de ligação e os vetores diretores é diferente de zero.

Exercícios relacionados