Considere o plano alpha e a reta r de respectivas equações
alpha: x-y+z=1 r:(x, y, z)=(0,3,1)+t(2,-1,-3)
Ache o plano que contém r e perpendicular a alpha.

Passo 1

O enunciado pede o plano que contém a reta r e é perpendicular ao plano alpha. Sabendo que duas retas determinam um plano e que dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais são perpendiculares, vamos usar:
  • o vetor normal de alpha,
  • o vetor diretor de r,
  • e exigir que o vetor normal do plano buscado seja perpendicular a ambos.

Passo 2

Extraímos os vetores principais:
O plano alpha tem equação x - y + z = 1, logo seu vetor normal é
nalpha = (1,,-1,,1)
A reta r é dada por (x,y,z)=(0,3,1)+t,(2,-1,-3), logo seu vetor diretor é
vr = (2,,-1,,-3)

Passo 3

O vetor normal nbeta do plano beta que procuramos deve ser perpendicular a nalpha e também a vr. Podemos obtê-lo pelo produto vetorial
nbeta = vr times nalpha = i & j & k [6pt] 2 & -1 & -3 [2pt] 1 & -1 & 1 = (-4,,-5,,-1)
Multiplicando por -1 para simplificar, escolhemos
nbeta = (4,,5,,1)
]

Passo 4

Como beta deve conter a reta r, ela passa pelo ponto P0=(0,3,1). A equação do plano com normal nbeta=(4,5,1) que passa por P0 é
nbetacdotl((x,y,z)-P0r)=0 Longrightarrow 4(x-0)+5(y-3)+1(z-1)=0,
que simplifica para
4x+5y+z-16=0

Resposta

O plano procurado é
4x+5y+z-16=0

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