Considere as retas
& r:(x, y, z)=(7,2,-2)+t(-3,0,1) & s:(x, y, z)=(-1,1,2)+s(2,1,-2)
Determine a equação geral do plano que contém r e s.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém as retas r e s, cujas formas paramétricas são
r:(x,y,z)=(7,2,-2)+t(-3,0,1), s:(x,y,z)=(-1,1,2)+s(2,1,-2)
O conteúdo que vamos usar envolve achar um vetor normal ao plano pelo produto vetorial dos vetores diretores de r e s, e então usar um ponto do plano para escrever sua equação.

Passo 2

Extraímos das retas:
P1=(7,2,-2), vr=(-3,0,1)
para r, e
P2=(-1,1,2), vs=(2,1,-2)
para s. Esses pontos e vetores estão no plano procurado.

Passo 3

Calculamos o vetor normal n como
n = vr times vs
Fazendo o determinante,
n = (-3,0,1)times(2,1,-2) = l(0cdot(-2)-1cdot1,;-[,-3cdot(-2)-1cdot2],;-3cdot1-0cdot2r) =(-1,,-4,,-3)

Passo 4

A equação do plano vem de
ncdotl((x,y,z)-P1r)=0
Logo,
(-1,-4,-3)cdot(x-7,y-2,z+2)=0,
que expande para
-1(x-7)-4(y-2)-3(z+2)=0
e simplifica a
x+4y+3z-9=0

Resposta

A equação geral do plano é
x + 4y + 3z - 9 = 0

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