Considere as retas
r:(x, y, z)=(-1,-1,4)+t(1,1,-1) s:(x, y, z)=(1,3,7)+s(-2,0,1)
Calcule dist(r, s) e ang (r, s).

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas r e s em R^3 e o ângulo entre elas. O conteúdo envolve geometria vetorial no espaço: vamos usar produtos escalar, vetorial e normas de vetores.

Passo 2

Extraímos das parametrizações os pontos e vetores diretores:
– Para r, um ponto é P=(-1,-1,4) e o vetor diretor
v=(1,1,-1)
– Para s, um ponto é Q=(1,3,7) e o vetor diretor
w=(-2,0,1)

Passo 3

Para o ângulo usamos
Calculamos:
Logo,
e portanto

Passo 4

Para a distância dist(r,s) entre retas reversas (ou “gêmeas”) usamos a fórmula
dist(r,s) =l|,(Q-P)cdot(vtimesw)r||vtimesw|
Calculamos:
Q-P=(1-(-1),,3-(-1),,7-4)=(2,4,3),
vtimesw =det i&j&k 1&1&-1 -2&0&1 =(1,,1,,2),
(Q-P)cdot(vtimesw) =2cdot1+4cdot1+3cdot2=12,
|vtimesw| =raiz1^2+1^2+2^2=raiz6
Assim,
dist(r,s) =|12|raiz6 =2raiz6

Resposta

Distância: 2raiz6.
Ângulo: arccos!l(tfrac3raiz15r)approx 39,23^circ.

Exercícios relacionados