Dado o espaço vetorial R^4, considere os conjuntos de vetores U=
espaço) e um vetor genérico z in R^4 definido por z=(z1, z2, z3, z4).
u1=(0,-12,-13, 0)
u2=(0,-43, 0,-23)
u3=(-1,-52, 43, 2)
Determine o subespaço R^3 gerado pelos vetores u1, u2, u3 em termos das restrições sobre as componentes de z.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^4:
u1=(0,-tfrac12,-tfrac13,0), u2=(0,-tfrac43,0,-tfrac23), u3=(-1,-tfrac52,tfrac43,2)
e pede descrever o subespaço W=spanu1,u2,u3 em termos de uma condição linear sobre um vetor genérico z=(z1,z2,z3,z4).

Passo 2

Primeiro vemos que u1,u2,u3 são linearmente independentes em R^4. Logo dim W=3 e W é um hiperplano de codimensão 1 em R^4. Assim há exatamente uma equação linear que caracteriza W.

Passo 3

Para achar essa equação, procuramos um vetor normal
Isso gera o sistema
Resolvendo (por exemplo, eliminando em função de e depois ), encontra-se, até escalares,

Passo 4

Logo a condição para z=(z1,z2,z3,z4) pertencer a W é
vcdotz=-17,z1+2,z2-3,z3-4,z4=0

Resposta

O subespaço gerado por u1,u2,u3 é
(z1,z2,z3,z4)inR^4mid -17,z1+2,z2-3,z3-4,z4=0

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