Considere o plano alpha e a reta r de respectivas equações
alpha: x-y+z=1 r:(x, y, z)=(0,3,1)+t(2,-1,-3)
Calcule dist(r, alpha).

Passo 1

O enunciado dá o plano alpha de equação
alpha: x - y + z = 1
e a reta r no formato paramétrico
r: (x,y,z) = (0,3,1) + t,(2,-1,-3)
Queremos achar a distância entre r e alpha. Como a reta pode ou não ser paralela ao plano, primeiro vamos verificar essa condição usando o vetor normal do plano e o vetor diretor da reta.

Passo 2

O vetor normal de alpha é
n = (1,, -1,, 1),
e o vetor diretor de r é
d = (2,,-1,,-3)
Para ver se r é paralela a alpha, calculamos o produto escalar
n cdot d = 1cdot 2 + (-1)cdot(-1) + 1cdot(-3) = 2 + 1 - 3 = 0
Como ncdot d=0, o vetor diretor é ortogonal ao normal, logo a reta r é paralela ao plano alpha.

Passo 3

Para uma reta paralela a um plano, a distância entre eles é a mesma que a distância de qualquer ponto da reta ao plano. Tomamos o ponto inicial
P0 = (0,3,1)
A fórmula da distância de P0=(x0,y0,z0) ao plano Ax+By+Cz+D=0 é
dist = l|A x0 + B y0 + C z0 + Dr|raizA^2 + B^2 + C^2
Reescrevendo alpha como
x - y + z - 1 = 0,
temos A=1, B=-1, C=1 e D=-1. Substituindo P0:
A x0 + B y0 + C z0 + D = 1cdot 0 + (-1)cdot 3 + 1cdot 1 + (-1) = 0 - 3 + 1 - 1 = -3
O denominador é
raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz3

Passo 4

Portanto a distância entre r e alpha é
dist(r,alpha) = l|-3r|raiz3 = 3raiz3 = raiz3

Resposta

raiz3

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