Considere os planos
alpha: 2 x-y+z=1 beta: 4 x-2 y+2 z=5
Calcule dist(alpha, beta).

Passo 1

O enunciado dá dois planos em R^3:
alpha:2x - y + z = 1, beta:4x - 2y + 2z = 5
Precisamos calcular a distância entre dois planos paralelos usando a fórmula
dist(alpha,beta) =l|d2-d1r||n|,
onde n é o vetor normal comum e d1,d2 são as constantes dos planos na forma ncdot x=d.

Passo 2

Observamos que o vetor normal de alpha é
n=(2,-1,1),
e que a equação de beta pode ser reescrita dividindo tudo por 2:
beta:2x - y + z = 52
Assim beta tem o mesmo normal n e as constantes são d1=1 e d2=tfrac52.

Passo 3

O módulo de n é
|n|=raiz2^2+(-1)^2+1^2=raiz6
Aplicando a fórmula da distância,
dist(alpha,beta) =l|tfrac52-1r|raiz6 =tfrac32raiz6 =32raiz6 =raiz64

Resposta

dist(alpha,beta)=raiz64

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