Considere o plano alpha e a reta r de respectivas equações
alpha: x-y+z=1 r:(x, y, z)=(0,3,1)+t(2,-1,-3)
Mostre que a reta r é paralela ao plano alpha.

Passo 1

O enunciado nos dá o plano alpha definido por
x - y + z = 1
e a reta r em forma paramétrica
(x,y,z) = (0,3,1) + t,(2,-1,-3)
Queremos mostrar que a reta r é paralela ao plano alpha. Lembrando que uma reta de vetor diretor v é paralela a um plano de normal n se, e somente se,
v cdot n = 0

Passo 2

Da equação do plano alpha obtemos o vetor normal
n = (1, -1, 1),
e, da forma paramétrica da reta r, o vetor diretor
v = (2, -1, -3)

Passo 3

Calculamos o produto interno dos vetores n e v:
n cdot v = 1cdot2 + (-1)cdot(-1) + 1cdot(-3) = 2 + 1 - 3 = 0

Passo 4

Como n cdot v = 0, o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano. Logo, a reta r é paralela ao plano alpha.

Resposta

A reta r é paralela ao plano alpha porque seu vetor diretor (2,-1,-3) é ortogonal ao vetor normal (1,-1,1).

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