Considere o plano alpha e a reta r de respectivas equações
alpha: x-y+z=1 r:(x, y, z)=(0,3,1)+t(2,-1,-3)
Determine a equação da reta que é a projeção ortogonal de r sobre alpha.

Passo 1

O enunciado pede a reta que é a projeção ortogonal de r sobre o plano alpha. Para isso precisamos de duas coisas:
  1. Projetar um ponto qualquer de r ortogonalmente em alpha.
  2. Projetar o vetor diretor de r ortogonalmente em alpha.
    Com o ponto projetado e o vetor projetado, obtemos a equação paramétrica da reta buscada.

Passo 2

Da reta
r:;(x,y,z)=(0,3,1)+t,(2,-1,-3)
tomamos o ponto P0=(0,3,1) e o vetor diretor v=(2,-1,-3).
O plano alpha tem equação x - y + z = 1, logo o vetor normal é n=(1,-1,1) e | n|^2=1^2+(-1)^2+1^2=3.

Passo 3

Projeta-mos o ponto P0 no plano. Se a equação de alpha é ncdot r=1, então o escalar
de<a = ncdot P0 - 1 = (1,-1,1)cdot(0,3,1) - 1 = (0 - 3 + 1) - 1 = -3
A projeção é
P = P0 - de<a| n|^2, n = (0,3,1) - -33,(1,-1,1) = (0,3,1) + (1,-1,1) = (1,2,2)

Passo 4

Projeta-mos o vetor diretor v. A fórmula é
vproj = v - ncdot v| n|^2, n
Calculamos ncdot v = (1,-1,1)cdot(2,-1,-3)=2+1-3=0.
Logo
vproj = v - 0cdot n = (2,-1,-3)
Isso significa que v já é paralelo ao plano.

Passo 5

A reta projetada passa por P=(1,2,2) e tem vetor diretor vproj=(2,-1,-3). Portanto sua equação paramétrica é
(x,y,z) = (1,2,2) + t,(2,-1,-3)

Resposta

A projeção ortogonal de r sobre alpha é
boxed(x,y,z) = (1,2,2) + t,(2,-1,-3)

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