Considere o plano
e a reta
de respectivas equações
(a) Determine o ponto
.
(b) Determine o plano que contém
e é perpendicular a
.
(c) Determine a reta que é a projeção ortogonal de
sobre
.
(d) Calcule ang
.
(e) Determine a reta contida em
e que é perpendicular a
.
(b) Determine o plano que contém
(c) Determine a reta que é a projeção ortogonal de
(d) Calcule ang
(e) Determine a reta contida em
Passo 1
Resumindo: temos o plano
e a reta
O conteúdo usado será geometria analítica no espaço: interseção reta-plano, condição de perpendicularidade de planos, projeção de vetor em plano, cálculo de ângulo entre reta e plano e reta ortogonal em um plano. Precisaremos da normal do plano, digamos
, e do vetor diretor de
, digamos
.
Passo 2
Para (a): achamos
impondo que o ponto genérico de
,
satisfaça
, ou seja,
Resolvendo temos
, logo
e
Passo 3
Para (b): buscamos um plano
que contenha
(logo sua normal
é ortogonal a
) e seja perpendicular a
(ou seja
). Logo
Usando o ponto
de
, a equação de
é
Passo 4
Para (c): a projeção ortogonal de
sobre
é a reta
cujos pontos são projeções dos pontos de
. Seu vetor diretor é a projeção de
em
:
que, escalando, vira
. Para obter um ponto em
projetamos
sobre
: o desvio
e
Logo
Passo 5
Para (d): o ângulo
entre
e
satisfaz
logo
.
Passo 6
Para (e): numa reta de
perpendicular a
, precisamos de vetor diretor
tal que
e
. Logo
Como
e
se cruzam em
, a reta desejada é
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) .
(e) .
(b)
(c)
(d)
(e)