Considere o plano alpha e a reta r de respectivas equações
alpha: 2 x+y-z=4 r:(x, y, z)=(0,3,-4)+t(1,-1,2)
(a) Determine o ponto P=r cap alpha.
(b) Determine o plano que contém r e é perpendicular a alpha.
(c) Determine a reta que é a projeção ortogonal de r sobre alpha.
(d) Calcule ang (r, alpha).
(e) Determine a reta contida em alpha e que é perpendicular a r.

Passo 1

Resumindo: temos o plano
alpha:2x+y-z=4
e a reta
r:(x,y,z)=(0,3,-4)+t(1,-1,2)
O conteúdo usado será geometria analítica no espaço: interseção reta-plano, condição de perpendicularidade de planos, projeção de vetor em plano, cálculo de ângulo entre reta e plano e reta ortogonal em um plano. Precisaremos da normal do plano, digamos n=(2,1,-1), e do vetor diretor de r, digamos u=(1,-1,2).

Passo 2

Para (a): achamos P impondo que o ponto genérico de r,
(x,y,z)=(t,3-t,-4+2t),
satisfaça alpha, ou seja,
2t+(3-t)-(-4+2t)=4
Resolvendo temos -t+7=4, logo t=3 e
P=(3,0,2)

Passo 3

Para (b): buscamos um plano pi que contenha r (logo sua normal npi é ortogonal a u) e seja perpendicular a alpha (ou seja npicdot n=0). Logo
npi= utimes n =(1,-1,2)times(2,1,-1) =(-1,5,3)
Usando o ponto (0,3,-4) de r, a equação de pi é
-1(x-0)+5(y-3)+3(z+4)=0 Longrightarrow x-5y-3z+3=0

Passo 4

Para (c): a projeção ortogonal de r sobre alpha é a reta s cujos pontos são projeções dos pontos de r. Seu vetor diretor é a projeção de u em alpha:
uparal<=l = u- ucdot n| n|^2, n =(1,-1,2)+16(2,1,-1) =l(tfrac43,-tfrac56,tfrac116r),
que, escalando, vira (8,-5,11). Para obter um ponto em s projetamos A=(0,3,-4) sobre alpha: o desvio
2cdot0+3-(-4)-4| n|^2=3/6 e
H=A-36(2,1,-1)=(-1,tfrac52,-tfrac72)
Logo
s:(x,y,z)=(-1,tfrac52,-tfrac72)+lambda(8,-5,11)

Passo 5

Para (d): o ângulo theta entre r e alpha satisfaz
sintheta =| ucdot n|| u|| n| =16,
logo theta=arcsintfrac16.

Passo 6

Para (e): numa reta de alpha perpendicular a r, precisamos de vetor diretor w tal que wcdot u=0 e wcdot n=0. Logo
w= utimes n=(-1,5,3)
Como alpha e r se cruzam em P=(3,0,2), a reta desejada é
h:(x,y,z)=(3,0,2)+s(-1,5,3)

Resposta

(a) P=(3,0,2).
(b) x-5y-3z+3=0.
(c) (x,y,z)=(-1,tfrac52,-tfrac72)+lambda(8,-5,11).
(d) theta=arcsintfrac16.
(e) (x,y,z)=(3,0,2)+s(-1,5,3).

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