Considere as retas r e s de respectivas equações paramétricas
& r:(x, y, z)=(3,1,2)+t(-1,4,5) & s:(x, y, z)=(3,5,1)+s(-1,1,3)
(a) Mostre que r e s são retas reversas.
(b) Determine a equação do plano pi que contém a reta r e que é paralelo a reta s.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em R^3
r:;(x,y,z) = (3,1,2) + t(-1,4,5), s:;(x,y,z) = (3,5,1) + s(-1,1,3)
Parte (a) pede para mostrar que r e s são retas reversas (isto é, nem paralelas nem concorrentes). Para isso precisamos verificar (1) se os vetores diretores são colineares e (2) se há interseção entre as retas. Na parte (b) queremos o plano pi que contém r e é paralelo a s; usaremos que um plano paralelo a s e que contém r tem vetores diretores iguais aos das duas retas, e seu vetor normal é o produto vetorial desses diretores.

Passo 2

Verificamos se as retas são paralelas comparando os vetores diretores
ur = (-1,4,5), us = (-1,1,3)
Se fossem colineares existiria lambda tal que (-1,4,5)=lambda(-1,1,3).
Da primeira componente vem -1=lambda(-1)Rightarrow lambda=1.
Da segunda viria 4=lambdacdot1=1, o que é falso.
Logo ur e us não são colineares, e r e s não são paralelas.

Passo 3

Agora checamos se r e s se intersectam, ou seja, se existem t e s tais que
(3,1,2)+t(-1,4,5) = (3,5,1)+s(-1,1,3)
Pela primeira coordenada 3-t = 3 - s segue t=s.
Então da segunda coordenada 1+4t = 5 + s = 5 + t daria 4t - t = 4Rightarrow t=tfrac43.
Mas na terceira coordenada 2+5t = 1+3s = 1+3t daria 5t-3t=1-2Rightarrow2t=-1Rightarrow t=-tfrac12.
Como tfrac43neq -tfrac12, não há t comum: não existem pontos de interseção.

Passo 4

Como não são paralelas (Passo 2) e não se intersectam (Passo 3), concluímos que r e s são retas reversas.

Passo 5

Para achar o plano pi que contém r e é paralelo a s, tomamos como vetores diretores do plano os vetores ur e us. O vetor normal n de pi é
n = ur times us = i & j & k -1 & 4 & 5 -1 & 1 & 3 = (7,,-2,;3)

Passo 6

Escolhendo o ponto P0=(3,1,2) de r, a equação cartesiana do plano é
ncdotl((x,y,z)-P0r)=0 ;Longrightarrow; 7(x-3)-2(y-1)+3(z-2)=0
Expandindo e rearranjando,
7x -2y +3z -25 =0

Resposta

(a) As retas não são paralelas nem se intersectam, logo são reversas.
(b) Uma equação do plano pi é
7x - 2y + 3z - 25 = 0

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