Considere as retas e de respectivas equações paramétricas
(a) Mostre que e são retas reversas.
(b) Determine a equação do plano que contém a reta e que é paralelo a reta .
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas em
Parte (a) pede para mostrar que e são retas reversas (isto é, nem paralelas nem concorrentes). Para isso precisamos verificar (1) se os vetores diretores são colineares e (2) se há interseção entre as retas. Na parte (b) queremos o plano que contém e é paralelo a ; usaremos que um plano paralelo a e que contém tem vetores diretores iguais aos das duas retas, e seu vetor normal é o produto vetorial desses diretores.
Passo 2
Verificamos se as retas são paralelas comparando os vetores diretores
Se fossem colineares existiria tal que .
Da primeira componente vem .
Da segunda viria , o que é falso.
Logo e não são colineares, e e não são paralelas.
Passo 3
Agora checamos se e se intersectam, ou seja, se existem e tais que
Pela primeira coordenada segue .
Então da segunda coordenada daria .
Mas na terceira coordenada daria .
Como , não há comum: não existem pontos de interseção.
Passo 4
Como não são paralelas (Passo 2) e não se intersectam (Passo 3), concluímos que e são retas reversas.
Passo 5
Para achar o plano que contém e é paralelo a , tomamos como vetores diretores do plano os vetores e . O vetor normal de é
Passo 6
Escolhendo o ponto P0=(3,1,2) de r, a equação cartesiana do plano é