Considere a reta de equação paramétrica e o ponto .
(a) O ponto pertence a reta ?
(b) Determine a equação do plano que contém e .
(c) Determine a reta perpendicular à e que passa por (Sugestão: encontre o ponto da reta tal que o vetor é perpendicular à reta r ).
(d) Calcule dist(A, r)(OBS : Note que dist(A, r)=dist(A, Q)=|A Q| ).
(e) Determine o ponto simétrico de A em relação à reta r (OBS.: O ponto simétrico de A em relação a reta r é o ponto simétrico de A em relação ao ponto Q ).
Passo 1
O enunciado dá a reta r de equação paramétrica
(x,y,z)=(-7,4,9)+t(-2,1,2)
e o ponto A=(7,4,5). Precisamos:
(a) verificar se A pertence a r,
(b) achar a equação do plano que contém r e A,
(c) determinar a reta perpendicular a r passando por A (isto é, passar por A e pelo pé Q da perpendicular),
(d) calcular dist(A,r)=|AQ|,
(e) encontrar o ponto simétrico de A em relação a r (isto é, o simétrico de A em relação a Q).
Passo 2
Para ver se Ain r resolvemos
-7-2t=7, 4+t=4, 9+2t=5
Da primeira vem -2t=14Rightarrow t=-7. Substituindo em 4+t obtemos 4-7=-3neq4. Logo não há valor comum de t que satisfaça todas as coordenadas e
(a) Anotin r
Passo 3
Para o plano usamos dois vetores diretores: d=(-2,1,2) (direção de r) e P0A, onde P0=(-7,4,9).
P0A=A-P0=(7-(-7),4-4,5-9)=(14,0,-4)
O vetor normal é
n=dtimesP0A = i&j&k -2&1&2 14&0&-4 =(-4,20,-14)
que simplifica para (2,-10,7). A equação do plano passando por P0 é
2(x+7)-10(y-4)+7(z-9)=0
ou seja
boxed2x-10y+7z-9=0
Passo 4
O pé Q da perpendicular de A em r obtém-se por projeção:
A reta perpendicular a r passando por A é a reta que liga A a Q. Como AQ=Q-A=(1-7,0-4,1-5)=(-6,-4,-4),
podemos usar a direção equivalente (3,2,2). Assim