Considere a reta r de equação paramétrica (x, y, z)=(-7,4,9)+t(-2,1,2) e o ponto A=(7,4,5).
(a) O ponto A pertence a reta r ?
(b) Determine a equação do plano que contém r e A.
(c) Determine a reta perpendicular à r e que passa por A (Sugestão: encontre o ponto Q da reta r tal que o vetor A Q é perpendicular à reta r ).
(d) Calcule dist(A, r)(OBS : Note que dist(A, r)=dist(A, Q)=|A Q| ).
(e) Determine o ponto simétrico de A em relação à reta r (OBS.: O ponto simétrico de A em relação a reta r é o ponto simétrico de A em relação ao ponto Q ).

Passo 1

O enunciado dá a reta r de equação paramétrica
(x,y,z)=(-7,4,9)+t(-2,1,2)
e o ponto A=(7,4,5). Precisamos:
(a) verificar se A pertence a r,
(b) achar a equação do plano que contém r e A,
(c) determinar a reta perpendicular a r passando por A (isto é, passar por A e pelo pé Q da perpendicular),
(d) calcular dist(A,r)=|AQ|,
(e) encontrar o ponto simétrico de A em relação a r (isto é, o simétrico de A em relação a Q).

Passo 2

Para ver se Ain r resolvemos
-7-2t=7, 4+t=4, 9+2t=5
Da primeira vem -2t=14Rightarrow t=-7. Substituindo em 4+t obtemos 4-7=-3neq4. Logo não há valor comum de t que satisfaça todas as coordenadas e
(a) Anotin r

Passo 3

Para o plano usamos dois vetores diretores: d=(-2,1,2) (direção de r) e P0A, onde P0=(-7,4,9).
P0A=A-P0=(7-(-7),4-4,5-9)=(14,0,-4)
O vetor normal é
n=dtimesP0A = i&j&k -2&1&2 14&0&-4 =(-4,20,-14)
que simplifica para (2,-10,7). A equação do plano passando por P0 é
2(x+7)-10(y-4)+7(z-9)=0
ou seja
boxed2x-10y+7z-9=0

Passo 4

O pé Q da perpendicular de A em r obtém-se por projeção:
t0=dcdotP0Adcdotd =(-2,1,2)cdot(14,0,-4)(-2)^2+1^2+2^2 =-28-89=-4
Logo
Q=P0+t0,d=(-7,4,9)-4(-2,1,2)=(1,0,1)

Passo 5

A reta perpendicular a r passando por A é a reta que liga A a Q. Como
AQ=Q-A=(1-7,0-4,1-5)=(-6,-4,-4),
podemos usar a direção equivalente (3,2,2). Assim
boxed(x,y,z)=(7,4,5)+s(3,2,2)

Passo 6

A distância de A a r é |,AQ|:
|AQ|=raiz(-6)^2+(-4)^2+(-4)^2 =raiz36+16+16 =raiz68 =2raiz17

Passo 7

O ponto simétrico de A em relação a r é o simétrico em relação a Q, dado por
A'=2Q-A=2(1,0,1)-(7,4,5)=(-5,-4,-3)

Resposta

(a) Anotin r.
(b) 2x-10y+7z-9=0.
(c) (x,y,z)=(7,4,5)+s(3,2,2).
(d) dist(A,r)=2raiz17.
(e) (-5,-4,-3).

Exercícios relacionados