Considere os pontos A=(-1,3,2) e B=(2,1,6).
(a) Determine a equação paramétrica da reta over<=ftrightarrowA B.
(b) Calcule o ponto médio do segmento A B.
(c) Calcule dist(A, B).
(d) Determine o ponto simétrico A^prime de A em relação ao ponto B (OBS.: Considere a relação entre os vetores B A^prime e B A ).

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos A=(-1,3,2) e B=(2,1,6), e pede:
– a equação paramétrica da reta que passa por A e B;
– o ponto médio do segmento AB;
– a distância entre A e B;
– o ponto simétrico A' de A em relação a B.
Vamos usar conceitos de geometria analítica em R^3: vetor diretor de reta, média de coordenadas, norma de vetor e definição de ponto simétrico.

Passo 2

Para obter a equação paramétrica, primeiro calculamos o vetor diretor
vec d = AB = B - A = (2 - (-1),,1 - 3,,6 - 2) = (3,-2,4)
Então a reta over<=ftrightarrowAB pode ser escrita como
(x,y,z) = (-1,3,2) + t,(3,-2,4), tinR

Passo 3

O ponto médio M do segmento AB é dado pela média das coordenadas de A e B:
M = A + B2 = (-1+22,,3+12,,2+62) = (tfrac12,,2,,4)

Passo 4

A distância entre A e B é a norma do vetor AB:
|AB| = raiz3^2 + (-2)^2 + 4^2 = raiz9 + 4 + 16 = raiz29

Passo 5

Para achar o simétrico A' de A em relação a B, usamos que B é o ponto médio de AA'. Logo
BA' = -,BA
Como BA=A-B, segue
A' = B + BA' = B - (A - B) = 2B - A
Substituindo as coordenadas:
A' = 2(2,1,6) - (-1,3,2) = (4,2,12) - (-1,3,2) = (5,-1,10)

Resposta

(a) ,(x,y,z)=(-1,3,2)+t,(3,-2,4),;tinR
(b) M=l(tfrac12,2,4r)
(c) dist(A,B)=raiz29
(d) A'=(5,-1,10)

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