Considere o plano com o sistema cartesiano canônico x O y e faça uma rotação de um ângulo theta obtendo um novo sistema xOy. Seja P um ponto do plano.
Se P=(2,2) no sistema x^prime Oy^prime e theta=30^circ, encontre as coordenadas de P no sistema xOy .

Passo 1

O enunciado diz que o sistema x'Oy' foi obtido ao rotacionar o sistema canônico xOy em um ângulo theta=30^circ. O ponto P tem coordenadas (2,2) no sistema rotacionado x'Oy'. Precisamos encontrar as coordenadas de P no sistema original xOy, usando a fórmula de rotação de coordenadas.

Passo 2

Quando o sistema original é rotacionado em theta, as coordenadas (x',y') no novo sistema relacionam-se com (x,y) no sistema original por
x = x'costheta - y'sintheta, y = x'sintheta + y'costheta

Passo 3

Para theta=30^circ temos
cos 30^circ = tfracraiz32 e sin 30^circ = tfrac12.
Como x'=2 e y'=2, substituímos:
x = 2cdotraiz32 - 2cdot12 = raiz3 - 1,
y = 2cdot12 + 2cdotraiz32 = 1 + raiz3

Passo 4

Concluímos que, no sistema xOy, as coordenadas de P são
l(raiz3 - 1,;1 + raiz3r)

Resposta

l(raiz3 - 1,;1 + raiz3r)

Exercícios relacionados