Considere o plano com o sistema cartesiano canônico x O y e faça uma rotação de um ângulo theta obtendo um novo sistema xOy. Seja P um ponto do plano.
Transforme a equação 3 x^2-5 y^2=15 para o sistema x^prime O y^prime.

Passo 1

Estamos num plano com eixos originais xOy e iremos girar esses eixos em torno da origem de um ângulo theta, obtendo novos eixos x'Oy'. A equação da cônica no sistema original é
3x^2 - 5y^2 = 15
Para transformar essa equação, vamos precisar da relação entre as coordenadas (x,y) no sistema original e as coordenadas (x',y') no sistema rotacionado.

Passo 2

As fórmulas de rotação de eixos de um ângulo theta são
x = x'costheta - y'sintheta,
y = x'sintheta + y'costheta
Substituímos essas expressões na equação original 3x^2 - 5y^2 = 15.

Passo 3

Fazendo a substituição, obtemos
3l(x'costheta - y'sinthetar)^2;-;5l(x'sintheta + y'costhetar)^2;=;15
Agora expandimos cada termo quadrático:
3l(cos^2theta,x'^2 -2sinthetacostheta,x'y' +sin^2theta,y'^2r) -5l(sin^2theta,x'^2 +2sinthetacostheta,x'y' +cos^2theta,y'^2r)=15

Passo 4

Agrupando coeficientes de x'^2, de x'y' e de y'^2, temos:
x'^2l(3cos^2theta -5sin^2thetar) ;+;x'y'l(-6sinthetacostheta -10sinthetacosthetar) ;+;y'^2l(3sin^2theta -5cos^2thetar) =15
Ou seja,
l(3cos^2theta -5sin^2thetar)x'^2 -16sinthetacostheta,x'y' +l(3sin^2theta -5cos^2thetar)y'^2 =15

Resposta

boxedl(3cos^2theta -5sin^2thetar)x'^2 -16sinthetacostheta,x'y' +l(3sin^2theta -5cos^2thetar)y'^2 =15

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