Considere o plano e a transformação linear dado por .
Determine , onde . Além disso, calcule , onde é a base canônica do . Por que essa matriz é simétrica?
Passo 1
O problema trata da projeção ortogonal
no plano
Para coordenar tudo de modo a tornar a matriz de diagonal, escolhemos a base
de em que
spanjam e
é normal a .
Em particular é base de e, sob essa base, a projeção ortogonal em tem matriz diagonal.
Passo 2
Expressamos
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
Da segunda equação . Substituindo na primeira,
Logo
Portanto
]
Passo 3
Na base beta, como u1,u2in W e u3perp W, temos
P(u1)=u1, P(u2)=u2, P(u3)=0
Logo, em beta, a matriz de P é
[P]beta^beta = 1&0&0[4pt] 0&1&0[4pt] 0&0&0 ]
Passo 4
Se em vez de beta-para-beta quisermos a matriz de P da base canônica epsilon (domínio) para beta (codomínio), escrevemos como colunas os vetores ,[P(e1)]beta,,[P(e2)]beta,,[P(e3)]beta.
Mas o ponto principal é que, escolhido o mesmo ortonormal no domínio e no contradomínio, a matriz de P fica diagonal com entradas 1,1,0.
Por que a matriz é simétrica?
Porque P é projeção ortogonal, isto é, um operador auto-adjunto em R^3 com produto interno padrão. Num sistema ortonormal a matriz de um operador auto-adjunto é sempre igual à sua transposta, e aqui aparece de fato a matriz diagonal
1&0&0 0&1&0 0&0&0 ,
que é claramente simétrica.
Resposta
[vec v]beta = dfracx+2y+z3[8pt] dfracx - y -2z3[6pt] dfracx - y + z3 , [P]beta^beta = 1&0&0 0&1&0 0&0&0 ,
e essa matriz é simétrica porque P é projeção ortogonal (operador auto-adjunto).]