Quais dos seguintes vetores são combinação linear de e v3=(-10,18,7)? Justifique. v=(-1,2,3)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta quais vetores são combinações lineares dos vetores v1 = (5, -3, 1), v2 = (0, 4, 3) e v3 = (-10, 18, 7). A gente precisa verificar se o vetor v = (-1, 2, 3) pode ser formado por uma combinação desses três vetores. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que v é uma combinação linear de v1, v2 e v3 se existirem números escalares a, b e c tais que:
a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = v
Então, substituindo os vetores, temos:
a cdot (5, -3, 1) + b cdot (0, 4, 3) + c cdot (-10, 18, 7) = (-1, 2, 3)
Passo 3
Agora, vamos escrever isso em termos de componentes. Isso significa que cada coordenada do vetor resultante deve ser igual à coordenada correspondente de v. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, simplificamos a primeira equação:
Agora, substituímos [a) na terceira equação:
Vamos chamar essa equação de (1):
Agora, substituímos na segunda equação:
Agora, temos duas equações para :
Percebeu algo estranho? As duas equações estão dizendo que e ), o que é impossível. Isso significa que não há solução para esse sistema.
Resposta
O vetor v = (-1, 2, 3)não é uma combinação linear dos vetores v1, v2 e v3, pois não existe uma combinação de a, b e c que satisfaça todas as equações simultaneamente.