Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1=(5,-3,1), v2=(0,4,3) e v3=(-10,18,7)? Justifique.
v=(10,2,8)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se o vetor v=(10,2,8) pode ser formado por uma combinação linear dos vetores v1=(5,-3,1), v2=(0,4,3) e v3=(-10,18,7). Isso faz parte do estudo de combinações lineares em Álgebra Linear. Pra resolver, vamos precisar montar um sistema de equações usando esses vetores e ver se conseguimos encontrar coeficientes que deem certo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos saber se existe algum conjunto de números (coeficientes) que, multiplicados pelos vetores dados e somados, resultem no vetor v. Ou seja, queremos achar a, b e c tais que:
av1 + bv2 + cv3 = v
Substituindo pelos valores:
a(5,-3,1) + b(0,4,3) + c(-10,18,7) = (10,2,8)

Passo 3

Agora, vamos separar isso em componentes para montar as equações:
  1. Componente x: 5a + 0b -10c = 10
  2. Componente y: -3a +4b +18c = 2
  3. Componente z: 1a +3b +7c =8
Então, temos o seguinte sistema de equações:
5a -10c = 10 -3a +4b +18c = 2 a +3b +7c =8

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
5a -10c = 10
Podemos simplificar dividindo tudo por 5:
a -2c = 2
Daí, isolamos a:
a = 2 + 2c

Passo 5

Agora, substituímos a na terceira equação:
a +3b +7c =8
Substituindo a:
(2 + 2c) +3b +7c =8
Simplificando:
2 +2c +3b +7c =8
3b +9c =6
Dividindo por 3:
b +3c =2
Isolando b:
b = 2 -3c

Passo 6

Vamos agora substituir a e b nas segunda equação:
-3a +4b +18c = 2
Substituindo a = 2 + 2c e b = 2 -3c:
-3(2 + 2c) +4(2 -3c) +18c =2
Expandindo:
-6 -6c +8 -12c +18c =2
Simplificando:
(-6 +8) + (-6c -12c +18c) =2
2 +0c =2
Isso resulta em 2=2, que é uma igualdade verdadeira, indicando que o sistema tem infinitas soluções dependentes do valor de c.

Passo 7

Como temos infinitas soluções, podemos escolher um valor para c e encontrar a e b. Por exemplo, se escolhermos c=0:
a = 2 + 2(0) =2
b = 2 -3(0) =2
Então, uma solução é a=2, b=2, c=0.

Resposta

Sim, o vetor v=(10,2,8) é combinação linear de v1, v2 e v3. Uma combinação possível é 2v1 + 2v2 + 0v3 = v.

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